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8. 如图，四边形 $ ABCD $ 为菱形，$ ∠ ABC = 80^{\circ} $，延长 $ BC $ 到点 $ E $，在 $ ∠ DCE $ 内作射线 $ CM $，使得 $ ∠ ECM = 30^{\circ} $，过点 $ D $ 作 $ DF ⊥ CM $，垂足为 $ F $，若 $ DF = \sqrt{6} $，则对角线 $ BD $ 的长为(结果保留根号).
答案
$2\sqrt{6}$
解析
∵四边形$ABCD$为菱形，$∠ ABC=80°$，
∴$BC=CD$，$∠ BCD=180°-∠ ABC=100°$，对角线$BD$平分$∠ ABC$，则$∠ CBD=∠ CDB=40°$。
延长$BC$到$E$，则$∠ DCE=180°-∠ BCD=80°$。
∵$∠ ECM=30°$，$∠ DCE=80°$，
∴$∠ DCM=∠ DCE-∠ ECM=50°$。
∵$DF⊥ CM$，$DF=\sqrt{6}$，在$Rt△ DFC$中，$\sin∠ DCM=\frac{DF}{CD}$，
∴$CD=\frac{DF}{\sin50°}=\frac{\sqrt{6}}{\sin50°}$。
在$△ BCD$中，由正弦定理：$\frac{BD}{\sin∠ BCD}=\frac{CD}{\sin∠ CBD}$，
即$\frac{BD}{\sin100°}=\frac{CD}{\sin40°}$。
∵$\sin100°=\sin(80°)=2\sin40°\cos40°$，且$\cos40°=\sin50°$，
∴$BD=\frac{CD·\sin100°}{\sin40°}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{\sin50°}·2\sin40°\cos40°}{\sin40°}=2\sqrt{6}$。
9. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ AB $，垂足为 $ E $，作 $ DF ⊥ BC $，垂足为 $ F $，连接 $ EF $. 求证：
（1）$ △ ADE ≌ △ CDF $；
（2）$ ∠ BEF = ∠ BFE $.
（1）$ △ ADE ≌ △ CDF $；
（2）$ ∠ BEF = ∠ BFE $.
答案
（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°。
在△ADE和△CDF中，
∠AED=∠CFD，∠A=∠C，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS）。
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。
由（1）得△ADE≌△CDF，∴AE=CF。
∴AB - AE = BC - CF，即BE=BF。
∴∠BEF=∠BFE。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°。
在△ADE和△CDF中，
∠AED=∠CFD，∠A=∠C，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS）。
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。
由（1）得△ADE≌△CDF，∴AE=CF。
∴AB - AE = BC - CF，即BE=BF。
∴∠BEF=∠BFE。
10. 如图，菱形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ E $ 是 $ AD $ 的中点，点 $ F $，$ G $ 在 $ AB $ 上，$ EF ⊥ AB $，$ OG // EF $.
（1）求证：四边形 $ OEFG $ 是矩形；
（2）若 $ AD = 10 $，$ EF = 4 $，求 $ OE $ 和 $ BG $ 的长.
（1）求证：四边形 $ OEFG $ 是矩形；
（2）若 $ AD = 10 $，$ EF = 4 $，求 $ OE $ 和 $ BG $ 的长.
答案
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$O$为$AC$中点，$AB// CD$。
∵$E$是$AD$中点，
∴$OE$是$△ ADC$的中位线，
∴$OE// CD$，$OE=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB// CD$，
∴$OE// AB$，即$OE// FG$。
∵$OG// EF$，
∴四边形$OEFG$是平行四边形。
∵$EF⊥ AB$，
∴$∠ EFG=90°$，
∴四边形$OEFG$是矩形。
（2）解：
∵$AD=10$，$E$是$AD$中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=5$。
在$Rt△ AEF$中，$EF=4$，
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD=10$，$CD=AB=10$。
∵$OE$是$△ ADC$中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$。
∵四边形$OEFG$是矩形，
∴$FG=OE=5$。
∵$AG=AF+FG=3+5=8$，
∴$BG=AB-AG=10-8=2$。
综上，$OE=5$，$BG=2$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$O$为$AC$中点，$AB// CD$。
∵$E$是$AD$中点，
∴$OE$是$△ ADC$的中位线，
∴$OE// CD$，$OE=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB// CD$，
∴$OE// AB$，即$OE// FG$。
∵$OG// EF$，
∴四边形$OEFG$是平行四边形。
∵$EF⊥ AB$，
∴$∠ EFG=90°$，
∴四边形$OEFG$是矩形。
（2）解：
∵$AD=10$，$E$是$AD$中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=5$。
在$Rt△ AEF$中，$EF=4$，
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD=10$，$CD=AB=10$。
∵$OE$是$△ ADC$中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$。
∵四边形$OEFG$是矩形，
∴$FG=OE=5$。
∵$AG=AF+FG=3+5=8$，
∴$BG=AB-AG=10-8=2$。
综上，$OE=5$，$BG=2$。
11. 如图，把 $ △ FEP $ 放置在菱形 $ ABCD $ 中，使得顶点 $ E $，$ F $，$ P $ 分别在线段 $ AB $，$ AD $，$ AC $ 上，已知 $ EP = FP = 6 $，$ EF = 6\sqrt{3} $，$ ∠ BAD = 60^{\circ} $，且 $ AB ＞ 6\sqrt{3} $.
（1）求 $ ∠ EPF $ 的大小；
（2）若 $ AP = 10 $，求 $ AE + AF $ 的值；
（3）若 $ △ EFP $ 的三个顶点 $ E $，$ F $，$ P $ 分别在线段 $ AB $，$ AD $，$ AC $ 上运动，请直接写出 $ AP $ 长的最大值和最小值.
（1）求 $ ∠ EPF $ 的大小；
（2）若 $ AP = 10 $，求 $ AE + AF $ 的值；
（3）若 $ △ EFP $ 的三个顶点 $ E $，$ F $，$ P $ 分别在线段 $ AB $，$ AD $，$ AC $ 上运动，请直接写出 $ AP $ 长的最大值和最小值.
答案
（1）120°；（2）10√3；（3）最大值12，最小值6。
解析
（1）在△FEP中，EP=FP=6，EF=6√3。由余弦定理得：EF²=EP²+FP²-2·EP·FP·cos∠EPF。代入数值：(6√3)²=6²+6²-2×6×6×cos∠EPF，即108=72-72cos∠EPF，解得cos∠EPF=-0.5。∵∠EPF为三角形内角，∴∠EPF=120°。
（2）设AE=x，AF=y，AP=10。菱形ABCD中，∠BAC=∠CAD=30°。在△AEP中，由余弦定理：6²=x²+10²-2·x·10·cos30°，整理得x²-10√3x+64=0。同理，在△AFP中，y²-10√3y+64=0。x，y为方程t²-10√3t+64=0的两根，由韦达定理得x+y=10√3，即AE+AF=10√3。
（3）AP长的最大值为12，最小值为6。
（2）设AE=x，AF=y，AP=10。菱形ABCD中，∠BAC=∠CAD=30°。在△AEP中，由余弦定理：6²=x²+10²-2·x·10·cos30°，整理得x²-10√3x+64=0。同理，在△AFP中，y²-10√3y+64=0。x，y为方程t²-10√3t+64=0的两根，由韦达定理得x+y=10√3，即AE+AF=10√3。
（3）AP长的最大值为12，最小值为6。
