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2. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ P $ 是对角线 $ AC $ 上的一点，$ PE ⊥ AB $，垂足为 $ E $，若 $ PE = 3 $，则点 $ P $ 到 $ AD $ 的距离为.
答案
3
解析
因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AC$ 是 $∠ DAB$ 的平分线。又因为 $P$ 是对角线 $AC$ 上的一点，且 $PE ⊥ AB$，$PE = 3$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点 $P$ 到 $AD$ 的距离等于 $PE$，即点 $P$ 到 $AD$ 的距离为 $3$。
1. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ AC = 4 $，$ ∠ BAD = 120^{\circ} $，则菱形 $ ABCD $ 的周长为()
A.$ 20 $
B.$ 18 $
C.$ 16 $
D.$ 15 $
A.$ 20 $
B.$ 18 $
C.$ 16 $
D.$ 15 $
答案
C
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC平分∠BAD。∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°。在△ABC中，AB=BC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=4。∴菱形ABCD的周长为4×4=16。
2. 如图，菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $. 若 $ AB = 5 $，$ AC = 6 $，则 $ BD $ 的长是()
A.$ 8 $
B.$ 7 $
C.$ 4 $
D.$ 3 $
A.$ 8 $
B.$ 7 $
C.$ 4 $
D.$ 3 $
答案
A
解析
因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质，其对角线互相垂直且平分。
所以$AC⊥ BD$，$AO = \frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 6$，则$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ ABO$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边），
$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$，已知$AB = 5$，$AO = 3$，
则$BO=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
所以$BD = 2BO=2×4 = 8$。
所以$AC⊥ BD$，$AO = \frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 6$，则$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ ABO$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边），
$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$，已知$AB = 5$，$AO = 3$，
则$BO=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
所以$BD = 2BO=2×4 = 8$。
3. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ ∠ BAD = 80^{\circ} $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ AC $ 于点 $ F $，交 $ AB $ 于点 $ E $，连接 $ DF $，则 $ ∠ CDF = $()
A.$ 50^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $
A.$ 50^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $
答案
B
解析
在菱形ABCD中，∠BAD=80°，则AB=AD，∠BAC=∠CAD=40°（菱形对角线平分内角），∠ADC=180°-80°=100°（菱形邻角互补）。
EF是AB的垂直平分线，故FA=FB（垂直平分线性质），则∠FBA=∠FAB=40°。
菱形ABCD关于对角线AC对称，点B与点D关于AC对称，因此FB=FD（对称点到对称轴上点距离相等），故FD=FA。
在△FAD中，FA=FD，所以∠FDA=∠FAD=40°。
则∠CDF=∠ADC-∠FDA=100°-40°=60°。
EF是AB的垂直平分线，故FA=FB（垂直平分线性质），则∠FBA=∠FAB=40°。
菱形ABCD关于对角线AC对称，点B与点D关于AC对称，因此FB=FD（对称点到对称轴上点距离相等），故FD=FA。
在△FAD中，FA=FD，所以∠FDA=∠FAD=40°。
则∠CDF=∠ADC-∠FDA=100°-40°=60°。
4. 如图，菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ E $ 为边 $ AD $ 的中点，菱形 $ ABCD $ 的周长为 $ 28 $，则 $ OE $ 的长为()
A.$ 3.5 $
B.$ 7 $
C.$ 10.5 $
D.$ 14 $
A.$ 3.5 $
B.$ 7 $
C.$ 10.5 $
D.$ 14 $
答案
A
解析
∵菱形ABCD的周长为28，∴菱形边长AB=BC=CD=DA=28÷4=7。∵菱形对角线AC、BD相交于点O，∴O为BD中点。∵E为AD中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1/2AB=1/2×7=3.5。
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ ABCD $ 的对角线的交点坐标是 $ O(0,0) $，点 $ B $ 的坐标是 $ (0,1) $，且 $ BC = \sqrt{5} $，则点 $ A $ 的坐标是.
答案
(2,0)
解析
∵菱形ABCD对角线交于O(0,0)，∴AC⊥BD，且AO=CO，BO=DO。
∵B(0,1)，∴OB=1，设A(a,0)，则OA=|a|。
在Rt△BOC中，BC=√5，OB=1，由勾股定理得OC²+OB²=BC²，即OC²+1²=(√5)²，解得OC=2。
∵菱形对角线互相平分，∴OA=OC=2，又A在x轴正半轴，∴A(2,0)。
∵B(0,1)，∴OB=1，设A(a,0)，则OA=|a|。
在Rt△BOC中，BC=√5，OB=1，由勾股定理得OC²+OB²=BC²，即OC²+1²=(√5)²，解得OC=2。
∵菱形对角线互相平分，∴OA=OC=2，又A在x轴正半轴，∴A(2,0)。
6. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $，$ AC = 8 $，$ BD = 6 $，$ OE ⊥ AD $，垂足为 $ E $，$ EO $ 的延长线交 $ BC $ 于点 $ F $，则 $ EF $ 的长为.
答案
24/5
解析
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥BD，AO=4，DO=3。在Rt△AOD中，AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5。S△AOD=1/2×AO×DO=1/2×AD×OE，即1/2×4×3=1/2×5×OE，解得OE=12/5。∵AD//BC，OE⊥AD，∴OF⊥BC，由菱形对称性知OE=OF，∴EF=2OE=24/5。
7. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ BC $，垂足为 $ H $，已知 $ BO = 4 $，$ S_{菱形 ABCD} = 24 $，则 $ AH = $.
答案
24/5
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO。
∵BO=4，∴BD=2BO=8。
∵$S_{菱形ABCD}=1/2×AC×BD=24$，∴1/2×AC×8=24，解得AC=6，∴AO=3。
在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(3²+4²)=5，∴BC=AB=5。
又∵$S_{菱形ABCD}=BC×AH=24$，∴5×AH=24，解得AH=24/5。
∵BO=4，∴BD=2BO=8。
∵$S_{菱形ABCD}=1/2×AC×BD=24$，∴1/2×AC×8=24，解得AC=6，∴AO=3。
在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(3²+4²)=5，∴BC=AB=5。
又∵$S_{菱形ABCD}=BC×AH=24$，∴5×AH=24，解得AH=24/5。
