如图，在平行四边形 $ ABCD $ 中，边 $ AB $ 的垂直平分线交 $ AD $ 于点 $ E $，交 $ CB $ 的延长线于点 $ F $，连接 $ AF $， $ BE $.
(1) 求证： $ △ AGE ≌ △ BGF $；
(2) 试判断四边形 $ AFBE $ 的形状，并说明理由.

(1) 证明：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AG=BG，∠AGE=∠BGF=90°（垂直平分线定义）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAG=∠FBG（两直线平行，内错角相等）。
在△AGE和△BGF中，
$\{\begin{array}{l} ∠EAG=∠FBG \\ AG=BG \\ ∠AGE=∠BGF \end{array} $，
∴△AGE≌△BGF（ASA）。
(2) 四边形AFBE是菱形。理由如下：
由(1)知△AGE≌△BGF，
∴AE=BF。
∵AD//BC，
∴AE//BF，
∴四边形AFBE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴平行四边形AFBE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。

1. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $， $ BD $ 相交于点 $ O $， $ AO = CO $， $ BO = DO $. 添加下列条件，不能判定四边形 $ ABCD $ 是菱形的是()

A.$ AB = AD $
B.$ AC = BD $
C.$ AC ⊥ BD $
D.$ ∠ ABO = ∠ CBO $

B

已知 $AO = CO$ 且 $BO = DO$，说明对角线 $AC$ 和 $BD$ 在点 $O$ 互相平分，因此四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
A 选项：添加条件 $AB = AD$，可以得出平行四边形 $ABCD$ 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
B 选项：添加条件 $AC = BD$，无法得出平行四边形 $ABCD$ 是菱形（对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是菱形）。
C 选项：添加条件 $AC ⊥ BD$，可以得出平行四边形 $ABCD$ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
D 选项：添加条件 $∠ ABO = ∠ CBO$，可以得出平行四边形 $ABCD$ 是菱形（对角线平分一组对角的平行四边形是菱形）。

2. 如图， $ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 的中点为 $ O $，过 $ O $ 作 $ EF ⊥ AC $ 交 $ AD $ 于点 $ F $，交 $ BC $ 于点 $ E $，则四边形 $ AECF $ 一定是()

A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.一般四边形

B

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∴∠OAF=∠OCE。
∵O是AC中点，∴OA=OC。
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE（对顶角相等），
∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

3. 如图，四边形 $ ABCD $ 是平行四边形， $ E $ 是边 $ CD $ 上一点，且 $ BC = EC $， $ CF ⊥ BE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $， $ P $ 是 $ EB $ 延长线上一点，下列结论：① $ BE $ 平分 $ ∠ CBF $；② $ CF $ 平分 $ ∠ DCB $；③ $ BC = FB $；④ $ PF = PC $，其中正确结论的个数为.

4

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∠ABE=∠CEB．
∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠CBE=∠ABE，即BE平分∠CBF，①正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，由等腰三角形三线合一得CF平分∠DCB，②正确；
∵AB//CD，∴∠BFC=∠DCF，又CF平分∠DCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BFC=∠BCF，∴BC=FB，③正确；
∵BC=FB，∠PBC=∠PBF（等角的补角相等），BP=BP，∴△PBC≌△PBF（SAS），∴PC=PF，④正确．
综上，①②③④均正确，个数为4．

4. 如图，在 $ △ ABC $ 中， $ D $ 是 $ BC $ 的中点，点 $ E $， $ F $ 分别在线段 $ AD $ 及其延长线上，且 $ DE = DF $. 给出下列条件：① $ BE ⊥ EC $；② $ BF // CE $；③ $ AB = AC $. 从中选择一个条件使四边形 $ BECF $ 是菱形，你认为这个条件是(填序号).

③

∵D是BC中点，∴BD=DC，又DE=DF，∴四边形BECF对角线互相平分，故为平行四边形。要使BECF为菱形，需平行四边形的对角线垂直或邻边相等。
条件③：AB=AC时，△ABC为等腰三角形，AD为中线，由三线合一得AD⊥BC，即EF⊥BC。平行四边形BECF对角线垂直，故为菱形。

5. 一个平行四边形的一条边长为 $ 3 $，两条对角线的长分别为 $ 4 $ 和 $ 2\sqrt{5} $，则它的面积为.

4√5

因为平行四边形的对角线互相平分，所以两条对角线的一半分别为2和√5。已知平行四边形的一条边长为3，由于2² + (√5)² = 4 + 5 = 9 = 3²，满足勾股定理，所以两条对角线互相垂直。因此，该平行四边形是菱形，其面积为两条对角线乘积的一半，即(4×2√5)/2 = 4√5。