6. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中， $ E $， $ F $， $ G $， $ H $ 分别是 $ AB $， $ BD $， $ CD $， $ AC $ 的中点，要使四边形 $ EFGH $ 是菱形，四边形 $ ABCD $ 还应满足的一个条件是.

AD=BC

∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，∴EF是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABC的中位线，∴EF//AD，EF=1/2AD，FG//BC，FG=1/2BC，GH//AD，GH=1/2AD，HE//BC，HE=1/2BC，∴EF//GH，FG//HE，∴四边形EFGH是平行四边形.要使平行四边形EFGH是菱形，需EF=FG，即1/2AD=1/2BC，∴AD=BC.

7. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中， $ AD = 32\ \mathrm{cm} $， $ AB = 24\ \mathrm{cm} $， $ P $ 是线段 $ AD $ 上一动点， $ O $ 为 $ BD $ 的中点， $ PO $ 的延长线交 $ BC $ 于点 $ Q $. 若点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以 $ 1\ \mathrm{cm/s} $ 的速度向点 $ D $ 运动(不与点 $ D $ 重合). 设点 $ P $ 运动的时间为 $ t\ \mathrm{s} $，则 $ t = $时，点 $ P $， $ Q $ 与点 $ A $， $ B $， $ C $， $ D $ 中的两个点为顶点的四边形是菱形.

7或25

在矩形$ABCD$中，$A(0,0)$，$B(24,0)$，$C(24,32)$，$D(0,32)$，$O$为$BD$中点，坐标$(12,16)$。点$P$在$AD$上，$P(0,t)$，直线$PO$方程为$y=\frac{16-t}{12}x+t$，与$BC(x=24)$交于$Q(24,32-t)$。
情况1：四边形$BQDP$为菱形
$BQDP$是平行四边形（对角线互相平分），需$BP=BQ$。$BQ=32-t$，$BP=\sqrt{24^2+t^2}$，则$\sqrt{24^2+t^2}=32-t$，解得$t=7$。
情况2：四边形$APCQ$为菱形
$APCQ$是平行四边形（对边平行且相等），需$AP=AQ$。$AP=t$，$AQ=\sqrt{24^2+(32-t)^2}$，则$t=\sqrt{24^2+(32-t)^2}$，解得$t=25$。
综上，$t=7$或$25$。

8. 如图， $ AE // BF $， $ AC $ 平分 $ ∠ BAE $，且交 $ BF $ 于点 $ C $， $ BD $ 平分 $ ∠ ABF $，且交 $ AE $ 于点 $ D $， $ AC $， $ BD $ 相交于点 $ O $，连接 $ CD $.
(1) 求证：四边形 $ ABCD $ 是菱形；
(2) 若 $ ∠ ADB = 30^{\circ} $， $ BD = 6 $，求 $ AD $ 的长.

(1) 见解析；(2) AD=2√3。

(1) 证明：
∵AE//BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA。
∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD。
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC。
∴AD=BC。
∵AE//BF，即AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OD=BD/2=3。
在Rt△AOD中，∠ADB=30°，∠AOD=90°，设AO=x，则AD=2x。
由勾股定理得：x²+3²=(2x)²，解得x=√3，∴AD=2√3。

9. 如图，矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $， $ BD $ 相交于点 $ O $， $ BE // AC $， $ AE // BD $.
(1) 求证：四边形 $ AOBE $ 是菱形；
(2) 若 $ ∠ AOB = 60^{\circ} $， $ AC = 4 $，求菱形 $ AOBE $ 的面积.

(1) 见证明过程；(2) $2\sqrt{3}$。

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AC = BD$，$OA = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$，
∴ $OA = OB$。
∵ $BE // AC$，$AE // BD$，
∴ 四边形 $AOBE$ 是平行四边形。
又∵ $OA = OB$，
∴ 平行四边形 $AOBE$ 是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$AC = 4$，
∴ $OA = \frac{1}{2}AC = 2$，$OB = OA = 2$。
∵ $∠ AOB = 60°$，
∴ $△ AOB$ 是等边三角形，
∴ $AB = OA = 2$。
过点 $B$ 作 $BF ⊥ OA$ 于点 $F$，
则 $BF = OB · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
∴ 菱形 $AOBE$ 的面积 $= OA · BF = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。

10. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ BAC = 90^{\circ} $， $ D $ 是 $ BC $ 的中点， $ E $ 是 $ AD $ 的中点. 过点 $ A $ 作 $ AF // BC $ 交 $ BE $ 的延长线于点 $ F $.
(1) 求证： $ △ AEF ≌ △ DEB $；
(2) 求证：四边形 $ ADCF $ 是菱形；
(3) 若 $ AC = 4 $， $ AB = 5 $，求菱形 $ ADCF $ 的面积.

(1) ∵E是AD中点，∴AE=DE。∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE。又∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB（AAS）。
(2) 由(1)得AF=DB。∵D是BC中点，∴DB=DC，∴AF=DC。∵AF//BC，∴AF//DC，∴四边形ADCF是平行四边形。在Rt△ABC中，D是BC中点，∴AD=DC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴平行四边形ADCF是菱形。
(3) ∵AF//BD，AF=BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=5。菱形ADCF面积=AC×DF/2=4×5/2=10。