例1 如图，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和以斜边为边长的大正方形的面积，即 $ S_A + S_B $ $ S_C $(注：$ A $，$ B $，$ C $ 分别表示三个阴影部分的正方形)。

【思路导析】可设小等腰直角三角形的面积为 1，则正方形 $ A $，$ B $ 的面积都为 2，正方形 $ C $ 的面积为 4，由此可知 $ A $，$ B $，$ C $ 三个正方形的面积的大小关系。
【请你解答】，。

等于，=，$S_A + S_B = S_C$

设图中小等腰直角三角形的面积为1。由图可知，正方形A由2个小等腰直角三角形组成，其面积$S_A=2×1=2$；正方形B同样由2个小等腰直角三角形组成，面积$S_B=2×1=2$；正方形C由4个小等腰直角三角形组成，面积$S_C=4×1=4$。所以$S_A + S_B = 2 + 2 = 4 = S_C$，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的大正方形的面积。

例2 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。
（1）已知 $ b = 2 $，$ c = 3 $，求 $ a $ 的值；
（2）已知 $ a : c = 3 : 5 $，$ b = 32 $，求 $ a $，$ c $ 的值。
【思路导析】（1）利用勾股定理求解；（2）利用勾股定理构造方程求解。
【请你解答】

（1）
由勾股定理得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$，
将$b = 2$，$c = 3$代入可得：
$a=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$。
（2）
因为$a:c = 3:5$，设$a = 3x$，则$c = 5x(x＞0)$。
由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
把$b = 32$，$a = 3x$，$c = 5x$代入可得：
$(3x)^{2}+32^{2}=(5x)^{2}$，
$9x^{2}+1024 = 25x^{2}$，
$25x^{2}-9x^{2}=1024$，
$16x^{2}=1024$，
$x^{2}=64$，
因为$x＞0$，所以$x = 8$。
则$a = 3x=3×8 = 24$，$c = 5x=5×8 = 40$。
综上，答案为：（1）$a=\sqrt{5}$；（2）$a = 24$，$c = 40$。

例3 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 $ 0.7 \, \mathrm{m} $，顶端距离地面 $ 2.4 \, \mathrm{m} $。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 $ 2 \, \mathrm{m} $，则小巷的宽度为()


A.$ 0.7 \, \mathrm{m} $
B.$ 1.5 \, \mathrm{m} $
C.$ 2.2 \, \mathrm{m} $
D.$ 2.4 \, \mathrm{m} $
【探究点拨】在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ BC = 0.7 $，$ AC = 2.4 $，
$ \therefore AB^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 6.25 $。
在 $ \mathrm{Rt} △ A'BD $ 中，$ ∠ A'DB = 90° $，$ A'D = 2 $，$ BD^2 + A'D^2 = A'B^2 $，
$ \therefore BD^2 + 2^2 = 6.25 $，$ \therefore BD^2 = 2.25 $。
$ \because BD ＞ 0 $，$ \therefore BD = 1.5 $，
$ \therefore CD = BC + BD = 0.7 + 1.5 = 2.2 $。
【规范解答】选 C。

C

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=0.7m，AC=2.4m，由勾股定理得AB²=0.7²+2.4²=6.25，所以AB=2.5m。在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，A'D=2m，A'B=AB=2.5m，由勾股定理得BD²+2²=2.5²，BD²=2.25，BD=1.5m。小巷宽度CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2m。

1. 如图，点 $ E $ 在正方形 $ ABCD $ 内，$ ∠ AEB = 90° $，$ AE = 6 $，$ BE = 8 $，则阴影部分的面积是()


A.48
B.60
C.76
D.80

C

因为 $ ∠AEB = 90° $，$ AE = 6 $，$ BE = 8 $，根据勾股定理，可以求出 $ AB $ 的长度：
$ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $
正方形 $ ABCD $ 的面积为：
$ S_{ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100 $
三角形 $ AEB $ 的面积为：
$ S_{AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $
阴影部分的面积为正方形面积减去三角形面积：
$ S_{阴影} = S_{ABCD} - S_{AEB} = 100 - 24 = 76 $

2. 如图，在校园内有两棵槐树，相距 $ 12 \, \mathrm{m} $，一棵树高 $ 13 \, \mathrm{m} $，另一棵树高 $ 8 \, \mathrm{m} $，一只小鸟从一棵
树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

解：设高13m的树为AB，高8m的树为CD，两树相距BC=12m。过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，BE=CD=8m，DE=BC=12m。
AE=AB-BE=13-8=5m。
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²=5²+12²=25+144=169，
∴AD=13m。
答：小鸟至少要飞13米。