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1. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。
(1)当 $ a = 3 $，$ b = 4 $ 时，$ c = $；
(2)当 $ AB = 10 $，$ BC = 8 $ 时，$ AC = $。
(1)当 $ a = 3 $，$ b = 4 $ 时，$ c = $；
(2)当 $ AB = 10 $，$ BC = 8 $ 时，$ AC = $。
答案
(1) 5
(2) 6
(2) 6
解析
(1) 在直角三角形中，依据勾股定理，$a^2 + b^2 = c^2$，
当 $a = 3， b = 4$ 时，带入公式得：
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} $
$= \sqrt{9 + 16} $
$= \sqrt{25} $
$= 5$
(2) 在直角三角形中，依据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
当 $AB = 10$ ， $BC = 8$ 时，带入公式得：
$AC = \sqrt{10^2 - 8^2} $
$= \sqrt{100 - 64} $
$= \sqrt{36} $
$= 6$
当 $a = 3， b = 4$ 时，带入公式得：
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} $
$= \sqrt{9 + 16} $
$= \sqrt{25} $
$= 5$
(2) 在直角三角形中，依据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
当 $AB = 10$ ， $BC = 8$ 时，带入公式得：
$AC = \sqrt{10^2 - 8^2} $
$= \sqrt{100 - 64} $
$= \sqrt{36} $
$= 6$
2. 如图，直角三角形中未知边 $ x = $，$ y = $。
答案
$ x = 17 $；$ y = 7 $
解析
左边的直角三角形：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。
设斜边为 $ x $，则：
$ x = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $，
右边的直角三角形：同样根据勾股定理，设斜边为 25，已知一条直角边为 24，另一条直角边为 $ y $，则：
$ 25^2 = y^2 + 24^2 $，
$ 625 = y^2 + 576 $，
$ y^2 = 625 - 576 = 49 $，
$ y = \sqrt{49} = 7 $。
设斜边为 $ x $，则：
$ x = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $，
右边的直角三角形：同样根据勾股定理，设斜边为 25，已知一条直角边为 24，另一条直角边为 $ y $，则：
$ 25^2 = y^2 + 24^2 $，
$ 625 = y^2 + 576 $，
$ y^2 = 625 - 576 = 49 $，
$ y = \sqrt{49} = 7 $。
3. 平面直角坐标系中，点 $ A(-5, 12) $ 到 $ x $ 轴的距离为，到 $ y $ 轴的距离为，到原点的距离为。
答案
$12$，$5$，$13$
解析
点 $A(-5, 12)$ 到 $x$ 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，即 $ |12| = 12$；
点 $A(-5, 12)$ 到 $y$ 轴的距离为点的横坐标的绝对值，即 $|-5| = 5$；
点 $A(-5, 12)$ 到原点的距离，根据勾股定理，若点坐标为$(x,y$)，两点间距离公式（这里原点坐标为$(0,0)$）$d = \sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}=\sqrt{(-5)^2 + 12^2}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}= 13$。
点 $A(-5, 12)$ 到 $y$ 轴的距离为点的横坐标的绝对值，即 $|-5| = 5$；
点 $A(-5, 12)$ 到原点的距离，根据勾股定理，若点坐标为$(x,y$)，两点间距离公式（这里原点坐标为$(0,0)$）$d = \sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}=\sqrt{(-5)^2 + 12^2}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}= 13$。
4. 如图，已知 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，以 $ △ ABC $ 的各边为边在 $ △ ABC $ 外作三个正方形，$ S_1 $、$ S_2 $、$ S_3 $ 分别表示这三个正方形的面积，$ S_1 = 6 $，$ S_3 = 25 $，则 $ S_2 = $。
答案
19
解析
在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
因为$S_1$是以$AC$为边的正方形面积，所以$S_1 = AC^2 = 6$；
$S_3$是以$AB$为边的正方形面积，所以$S_3 = AB^2 = 25$；
$S_2$是以$BC$为边的正方形面积，即$S_2 = BC^2$。
由勾股定理得$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25 - 6 = 19$，故$S_2 = 19$。
因为$S_1$是以$AC$为边的正方形面积，所以$S_1 = AC^2 = 6$；
$S_3$是以$AB$为边的正方形面积，所以$S_3 = AB^2 = 25$；
$S_2$是以$BC$为边的正方形面积，即$S_2 = BC^2$。
由勾股定理得$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25 - 6 = 19$，故$S_2 = 19$。
5. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ AB = 3 $，$ AC = 4 $，则 $ BC $ 的长为()
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.5 或 $ \sqrt{7} $
D.无法确定
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.5 或 $ \sqrt{7} $
D.无法确定
答案
C
解析
本题需分情况讨论$BC$为斜边和直角边两种情况：
情况一：当$BC$为斜边时，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），此时$AB$、$AC$为直角边，则$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$；
情况二：当$AC$为斜边时，$AB$、$BC$为直角边，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
所以$BC$的长为$5$或$\sqrt{7}$。
情况一：当$BC$为斜边时，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），此时$AB$、$AC$为直角边，则$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$；
情况二：当$AC$为斜边时，$AB$、$BC$为直角边，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
所以$BC$的长为$5$或$\sqrt{7}$。
6. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 1 : 2 $，$ BC = a $，$ AC = b $，$ AB = c $，则下列说法错误的是()
A.$ a^2 + c^2 = b^2 $
B.$ c^2 = 2a^2 $
C.$ a = b $
D.$ ∠ C = 90° $
A.$ a^2 + c^2 = b^2 $
B.$ c^2 = 2a^2 $
C.$ a = b $
D.$ ∠ C = 90° $
答案
A
解析
已知$∠A:∠B:∠C = 1:1:2$，设$∠A = x$，$∠B = x$，$∠C = 2x$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + x+2x = 180^{\circ}$，$4x = 180^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$，所以$∠A = 45^{\circ}$，$∠B = 45^{\circ}$，$∠C = 90^{\circ}$。
由此可知$△ABC$是等腰直角三角形，两直角边为$a$，$b$（$BC = a$，$AC = b$），斜边为$c$（$AB = c$）。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因为$a = b$，所以$c^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$。
对于选项A，$a^{2}+c^{2}≠ b^{2}$，因为$c^{2}=2a^{2}$，$b = a$，则$a^{2}+c^{2}=a^{2}+2a^{2}=3a^{2}≠ a^{2}=b^{2}$。
由此可知$△ABC$是等腰直角三角形，两直角边为$a$，$b$（$BC = a$，$AC = b$），斜边为$c$（$AB = c$）。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因为$a = b$，所以$c^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$。
对于选项A，$a^{2}+c^{2}≠ b^{2}$，因为$c^{2}=2a^{2}$，$b = a$，则$a^{2}+c^{2}=a^{2}+2a^{2}=3a^{2}≠ a^{2}=b^{2}$。
7. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长直角边长为 $ a $，较短直角边长为 $ b $。若 $ ab = 8 $，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为()
A.9
B.6
C.4
D.3
A.9
B.6
C.4
D.3
答案
D
解析
设大正方形的边长为 $ c $，则 $ c = 5 $（因为 $ c^2 = 25 $）。
根据题意，四个直角三角形的面积和为 $ 4 × \frac{1}{2} × a × b = 2ab = 16 $（因为 $ ab = 8 $）。
大正方形的面积等于四个直角三角形的面积和加小正方形的面积，即：
$25 = 16 + \mathrm{小正方形的面积}$。
小正方形的面积为：
$\mathrm{小正方形的面积} = 25 - 16 = 9$。
小正方形的边长为 $ \sqrt{9} = 3 $。
根据题意，四个直角三角形的面积和为 $ 4 × \frac{1}{2} × a × b = 2ab = 16 $（因为 $ ab = 8 $）。
大正方形的面积等于四个直角三角形的面积和加小正方形的面积，即：
$25 = 16 + \mathrm{小正方形的面积}$。
小正方形的面积为：
$\mathrm{小正方形的面积} = 25 - 16 = 9$。
小正方形的边长为 $ \sqrt{9} = 3 $。
8. 如图，在 $ △ ADC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB $ 是 $ DC $ 边上的中线，$ ∠ BAC = 30° $。若 $ AB = 6 $，求 $ AD $ 的长。
答案
在$Rt \bigtriangleup ABC$中：
$\because∠ BAC = 30°$，$AB = 6$，
$\therefore BC = \frac{1}{2} × AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
根据勾股定理有：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，
$\because AB$是$DC$边上的中线，
$\therefore DC = 2 × BC = 2 × 3 = 6$，
在$Rt \bigtriangleup ADC$中：
根据勾股定理有：
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{27 + 36} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} $。
因此，$AD$的长$3\sqrt{7} $。
$\because∠ BAC = 30°$，$AB = 6$，
$\therefore BC = \frac{1}{2} × AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
根据勾股定理有：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，
$\because AB$是$DC$边上的中线，
$\therefore DC = 2 × BC = 2 × 3 = 6$，
在$Rt \bigtriangleup ADC$中：
根据勾股定理有：
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{27 + 36} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} $。
因此，$AD$的长$3\sqrt{7} $。
