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9. 如图，在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面 $ 1 \, \mathrm{m} $，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 $ 2 \, \mathrm{m} $，则这里的水深是多少？
答案
设水深为 $ h \, \mathrm{m} $，则红莲的长度为 $ (h + 1) \, \mathrm{m} $。
风吹后，红莲的长度为斜边，水深 $ h $ 和水平距离 $ 2 \, \mathrm{m} $ 为直角边，由勾股定理得：
$ h^2 + 2^2 = (h + 1)^2 $
展开并化简：
$ h^2 + 4 = h^2 + 2h + 1 $
$ 4 = 2h + 1 $
$ 2h = 3 $
$ h = 1.5 $
答：水深是 $ 1.5 \, \mathrm{m} $。
风吹后，红莲的长度为斜边，水深 $ h $ 和水平距离 $ 2 \, \mathrm{m} $ 为直角边，由勾股定理得：
$ h^2 + 2^2 = (h + 1)^2 $
展开并化简：
$ h^2 + 4 = h^2 + 2h + 1 $
$ 4 = 2h + 1 $
$ 2h = 3 $
$ h = 1.5 $
答：水深是 $ 1.5 \, \mathrm{m} $。
10. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，$ AC = 20 $，$ BC = 15 $。
（1）求 $ AB $ 的长；
（2）求 $ CD $ 的长。
（1）求 $ AB $ 的长；
（2）求 $ CD $ 的长。
答案
（1）在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=20$，$BC=15$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{20^2 + 15^2}=\sqrt{400 + 225}=\sqrt{625}=25$。
（2）$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，即$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25·CD$，
$150=\frac{25}{2}CD$，解得$CD=12$。
（1）$AB=25$；（2）$CD=12$。
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{20^2 + 15^2}=\sqrt{400 + 225}=\sqrt{625}=25$。
（2）$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，即$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25·CD$，
$150=\frac{25}{2}CD$，解得$CD=12$。
（1）$AB=25$；（2）$CD=12$。
11. 如图，直线 $ l $ 过正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ B $，点 $ A $，$ C $ 到直线 $ l $ 的距离分别为 $ 1 \, \mathrm{cm} $ 和 $ 2 \, \mathrm{cm} $。
（1）求证：$ ∠ ABA' = ∠ BCC' $；
（2）求 $ BC' $ 的长；
（3）求正方形 $ ABCD $ 的边长和面积。
（1）求证：$ ∠ ABA' = ∠ BCC' $；
（2）求 $ BC' $ 的长；
（3）求正方形 $ ABCD $ 的边长和面积。
答案
（1）见证明；（2）1cm；（3）边长√5 cm，面积5 cm²。
解析
（1）证明：∵AA'⊥l，CC'⊥l，∴∠AA'B=∠BC'C=90°。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°。
∵∠ABA'+∠CBC'=180°-∠ABC=90°，在Rt△AA'B中，∠ABA'+∠BAA'=90°，∴∠BAA'=∠CBC'。
在△AA'B和△BC'C中，∠AA'B=∠BC'C，∠BAA'=∠CBC'，AB=BC，∴△AA'B≌△BC'C（AAS），∴∠ABA'=∠BCC'。
（2）由（1）知△AA'B≌△BC'C，∴BC'=AA'=1cm。
（3）在Rt△AA'B中，AA'=1cm，A'B=CC'=2cm（全等三角形对应边相等），由勾股定理得AB²=AA'²+A'B²=1²+2²=5，∴AB=√5 cm，正方形面积=AB²=5 cm²。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°。
∵∠ABA'+∠CBC'=180°-∠ABC=90°，在Rt△AA'B中，∠ABA'+∠BAA'=90°，∴∠BAA'=∠CBC'。
在△AA'B和△BC'C中，∠AA'B=∠BC'C，∠BAA'=∠CBC'，AB=BC，∴△AA'B≌△BC'C（AAS），∴∠ABA'=∠BCC'。
（2）由（1）知△AA'B≌△BC'C，∴BC'=AA'=1cm。
（3）在Rt△AA'B中，AA'=1cm，A'B=CC'=2cm（全等三角形对应边相等），由勾股定理得AB²=AA'²+A'B²=1²+2²=5，∴AB=√5 cm，正方形面积=AB²=5 cm²。
12. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 10 $，$ BC = 6 $，若点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 4 \, \mathrm{cm} $ 的速度沿折线 $ A - C - B - A $ 运动，设运动时间为 $ t \, \mathrm{s} (t ＞ 0) $。
（1）若点 $ P $ 在 $ AC $ 上，且满足 $ PA = PB $ 时，求出此时 $ t $ 的值；
（2）若点 $ P $ 恰好在 $ ∠ BAC $ 的平分线上，求 $ t $ 的值。
（1）若点 $ P $ 在 $ AC $ 上，且满足 $ PA = PB $ 时，求出此时 $ t $ 的值；
（2）若点 $ P $ 恰好在 $ ∠ BAC $ 的平分线上，求 $ t $ 的值。
答案
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
点$P$在$AC$上，$PA=4t$，则$PC=AC-PA=8-4t$。
因为$PA=PB$，$PB=4t$，在$Rt△ PCB$中，$PC^2+BC^2=PB^2$，即$(8-4t)^2+6^2=(4t)^2$。
展开得$64-64t+16t^2+36=16t^2$，化简得$100-64t=0$，解得$t=\frac{25}{16}$。
（2）①当点$P$在$CB$上时，$AP=AC+CP=8+CP=4t$，则$CP=4t-8$。
$∠BAC$的平分线到$AC$和$AB$距离相等，$P$到$AC$距离为$CP$，设到$AB$距离为$h$，则$CP=h$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$，$S_{△ ABP}=24-\frac{1}{2}×8×CP=24-4CP$。
又$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×10×CP=5CP$，故$24-4CP=5CP$，解得$CP=\frac{8}{3}$。
则$4t=8+\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$，$t=\frac{8}{3}$。
②当点$P$在$BA$上时，运动路程为$AC+CB+BP=8+6+BP=14+BP=4t$，$BP=4t-14$。
$∠BAC$平分线过$A$点，当$P$与$A$重合时，$4t=8+6+10=24$，$t=6$。
综上，$t=\frac{8}{3}$或$t=6$。
（1）$t=\frac{25}{16}$；（2）$t=\frac{8}{3}$或$t=6$。
点$P$在$AC$上，$PA=4t$，则$PC=AC-PA=8-4t$。
因为$PA=PB$，$PB=4t$，在$Rt△ PCB$中，$PC^2+BC^2=PB^2$，即$(8-4t)^2+6^2=(4t)^2$。
展开得$64-64t+16t^2+36=16t^2$，化简得$100-64t=0$，解得$t=\frac{25}{16}$。
（2）①当点$P$在$CB$上时，$AP=AC+CP=8+CP=4t$，则$CP=4t-8$。
$∠BAC$的平分线到$AC$和$AB$距离相等，$P$到$AC$距离为$CP$，设到$AB$距离为$h$，则$CP=h$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$，$S_{△ ABP}=24-\frac{1}{2}×8×CP=24-4CP$。
又$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×10×CP=5CP$，故$24-4CP=5CP$，解得$CP=\frac{8}{3}$。
则$4t=8+\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$，$t=\frac{8}{3}$。
②当点$P$在$BA$上时，运动路程为$AC+CB+BP=8+6+BP=14+BP=4t$，$BP=4t-14$。
$∠BAC$平分线过$A$点，当$P$与$A$重合时，$4t=8+6+10=24$，$t=6$。
综上，$t=\frac{8}{3}$或$t=6$。
（1）$t=\frac{25}{16}$；（2）$t=\frac{8}{3}$或$t=6$。
