18. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如：
$5 + 2\sqrt{6} = (2 + 3) + 2\sqrt{2 × 3} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} + 2\sqrt{2} × \sqrt{3} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$；
$8 - 2\sqrt{15} = (5 + 3) - 2\sqrt{5 × 3} = (\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{3})^{2} - 2\sqrt{5} × \sqrt{3} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2}$。
(1)若$a + 2\sqrt{21} = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，若$m = 3$，则$a =$；
(2)请你按照上述方法将$7 + 2\sqrt{10}$化成一个式子的平方；
(3)请你运用上述方法化简：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$。

(1)
根据完全平方公式$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}=m + n+2\sqrt{mn}$，已知$m = 3$，$mn=21$，则$n = 7$。
所以$a=m + n=3 + 7=10$。
(2)
$7+2\sqrt{10}=(2 + 5)+2\sqrt{2×5}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{5}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}$。
(3)
$9-4\sqrt{5}=5 + 4-4\sqrt{5}=(\sqrt{5})^{2}+2^{2}-2×2×\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)^{2}$。
所以$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^{2}}=\sqrt{5}-2$。
综上，答案依次为：(1)$10$；(2)$(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}$；(3)$\sqrt{5}-2$。

19. 如图，长方形$ABCD$内三个相邻的正方形的边长分别为$m$，$n$和$1$。
（1）求图中阴影部分的面积（用含$m$和$n$的式子表示）；
（2）若$m = a + \frac{1}{a}$，$n = a - \frac{1}{a}$，且$a - \frac{1}{a} = \sqrt{6}$，求阴影部分的面积。

（1）由题意，长方形的长为$m + n$，宽为$m$，且$m = n + 1$。
阴影部分面积 = 长方形面积 - 三个正方形面积
长方形面积 = $m(m + n)$
三个正方形面积和 = $m^2 + n^2 + 1$
阴影面积 = $m(m + n) - (m^2 + n^2 + 1) = mn - n^2 - 1$
又因为$m = n + 1$，即$m - n = 1$，代入得：
阴影面积 = $n(m - n) - 1 = n×1 - 1 = n - 1$，或$m - 2$，统一用含$m$和$n$的式子表示为$(m - 1)(n - 1)$。
（2）已知$n = a - \frac{1}{a} = \sqrt{6}$，$m = a + \frac{1}{a}$。
则$m^2 - n^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - (a - \frac{1}{a})^2 = 4$，
即$m^2 = n^2 + 4 = (\sqrt{6})^2 + 4 = 10$，所以$m = \sqrt{10}$。
阴影面积 = $m - 2 = \sqrt{10} - 2$。
（1）$(m - 1)(n - 1)$
（2）$\sqrt{10} - 2$