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14. 先化简，再求值：$(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) ÷ \frac{1}{xy + y^{2}}$，其中$x = \sqrt{5} + 2$，$y = \sqrt{5} - 2$。
答案
解题步骤：
1. 化简原式
$ \begin{aligned} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) ÷ \frac{1}{xy + y^2} &= [\frac{(x - y) + (x + y)}{(x + y)(x - y)}] · (xy + y^2) \\ &= \frac{2x}{(x + y)(x - y)} · y(x + y) \\ &= \frac{2xy}{x - y} \end{aligned} $
2. 代入数值计算
已知 $x = \sqrt{5} + 2$，$y = \sqrt{5} - 2$，则：
$xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
$x - y = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$
代入化简后的式子：
$ \frac{2xy}{x - y} = \frac{2 × 1}{4} = \frac{1}{2} $
最终结论：$\boxed{\frac{1}{2}}$
1. 化简原式
$ \begin{aligned} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) ÷ \frac{1}{xy + y^2} &= [\frac{(x - y) + (x + y)}{(x + y)(x - y)}] · (xy + y^2) \\ &= \frac{2x}{(x + y)(x - y)} · y(x + y) \\ &= \frac{2xy}{x - y} \end{aligned} $
2. 代入数值计算
已知 $x = \sqrt{5} + 2$，$y = \sqrt{5} - 2$，则：
$xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
$x - y = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$
代入化简后的式子：
$ \frac{2xy}{x - y} = \frac{2 × 1}{4} = \frac{1}{2} $
最终结论：$\boxed{\frac{1}{2}}$
15. 已知$x + y = -7$，$xy = 12$，求$y\sqrt{\frac{x}{y}} + x\sqrt{\frac{y}{x}}$的值。
答案
$\because x + y = -7$，$xy = 12$，$\therefore x$，$y$均为负数。
$y\sqrt{\frac{x}{y}} + x\sqrt{\frac{y}{x}}$
$= y\sqrt{\frac{xy}{y^2}} + x\sqrt{\frac{xy}{x^2}}$
$= y · \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + x · \frac{\sqrt{xy}}{|x|}$
$\because x ＜ 0$，$y ＜ 0$，$\therefore |x| = -x$，$|y| = -y$。
$\therefore$原式$= y · \frac{\sqrt{xy}}{-y} + x · \frac{\sqrt{xy}}{-x} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$。
$\because xy = 12$，$\therefore$原式$= -2\sqrt{12} = -4\sqrt{3}$。
$-4\sqrt{3}$
$y\sqrt{\frac{x}{y}} + x\sqrt{\frac{y}{x}}$
$= y\sqrt{\frac{xy}{y^2}} + x\sqrt{\frac{xy}{x^2}}$
$= y · \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + x · \frac{\sqrt{xy}}{|x|}$
$\because x ＜ 0$，$y ＜ 0$，$\therefore |x| = -x$，$|y| = -y$。
$\therefore$原式$= y · \frac{\sqrt{xy}}{-y} + x · \frac{\sqrt{xy}}{-x} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$。
$\because xy = 12$，$\therefore$原式$= -2\sqrt{12} = -4\sqrt{3}$。
$-4\sqrt{3}$
16. 已知$x = 1 - \sqrt{2}$，$y = 1 + \sqrt{2}$，求$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$的值。
答案
答题卡：
解：
因为$x = 1 - \sqrt{2}$，$y = 1 + \sqrt{2}$，
所以$x - y$
$=(1 - \sqrt{2}) - (1 + \sqrt{2})$
$=1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=- 2\sqrt{2}$
$xy$
$=(1 - \sqrt{2})×(1 + \sqrt{2})$
$=1 - 2$
$=- 1$
$x + y$
$=1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}$
$=2$
则$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$
$=(x^{2} + y^{2} - 2xy)+xy - 2(x - y)$（将$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$变形为$(x^{2} + y^{2} - 2xy)+xy - 2(x - y)$）
$=(x - y)^{2}+xy - 2(x - y)$
把$x - y = - 2\sqrt{2}$，$xy = - 1$代入$(x - y)^{2}+xy - 2(x - y)$得：
$( - 2\sqrt{2})^{2}-1 - 2×( - 2\sqrt{2})$
$=8 - 1 + 4\sqrt{2}$
$=7 + 4\sqrt{2}$
所以$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$的值为$7 + 4\sqrt{2}$。
解：
因为$x = 1 - \sqrt{2}$，$y = 1 + \sqrt{2}$，
所以$x - y$
$=(1 - \sqrt{2}) - (1 + \sqrt{2})$
$=1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=- 2\sqrt{2}$
$xy$
$=(1 - \sqrt{2})×(1 + \sqrt{2})$
$=1 - 2$
$=- 1$
$x + y$
$=1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}$
$=2$
则$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$
$=(x^{2} + y^{2} - 2xy)+xy - 2(x - y)$（将$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$变形为$(x^{2} + y^{2} - 2xy)+xy - 2(x - y)$）
$=(x - y)^{2}+xy - 2(x - y)$
把$x - y = - 2\sqrt{2}$，$xy = - 1$代入$(x - y)^{2}+xy - 2(x - y)$得：
$( - 2\sqrt{2})^{2}-1 - 2×( - 2\sqrt{2})$
$=8 - 1 + 4\sqrt{2}$
$=7 + 4\sqrt{2}$
所以$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$的值为$7 + 4\sqrt{2}$。
17. 若$m = \frac{2025}{\sqrt{2026} - 1}$。
（1）求$m$的值；
（2）求$(m - 1)^{2}$的值；
（3）求$m^{5} - 2m^{4} - 2025m^{3}$的值。
（1）求$m$的值；
（2）求$(m - 1)^{2}$的值；
（3）求$m^{5} - 2m^{4} - 2025m^{3}$的值。
答案
（1）$m = \frac{2025}{\sqrt{2026} - 1}$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{(\sqrt{2026} - 1)(\sqrt{2026} + 1)}$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{2026 - 1}$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{2025}$
$=\sqrt{2026} + 1$
（2）$(m - 1)^{2} = (\sqrt{2026} + 1 - 1)^{2} = (\sqrt{2026})^{2} = 2026$
（3）由（1）知$m = \sqrt{2026} + 1$，
$\therefore m - 1 = \sqrt{2026}$，
$(m - 1)^{2} = 2026$，即$m^{2} - 2m + 1 = 2026$，
$m^{2} - 2m - 2025 = 0$，
$m^{5} - 2m^{4} - 2025m^{3}$
$=m^{3}(m^{2} - 2m - 2025)$
$=m^{3} × 0$
$=0$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{(\sqrt{2026} - 1)(\sqrt{2026} + 1)}$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{2026 - 1}$
$=\frac{2025(\sqrt{2026} + 1)}{2025}$
$=\sqrt{2026} + 1$
（2）$(m - 1)^{2} = (\sqrt{2026} + 1 - 1)^{2} = (\sqrt{2026})^{2} = 2026$
（3）由（1）知$m = \sqrt{2026} + 1$，
$\therefore m - 1 = \sqrt{2026}$，
$(m - 1)^{2} = 2026$，即$m^{2} - 2m + 1 = 2026$，
$m^{2} - 2m - 2025 = 0$，
$m^{5} - 2m^{4} - 2025m^{3}$
$=m^{3}(m^{2} - 2m - 2025)$
$=m^{3} × 0$
$=0$
