14. 如图，$BD = CD$，$∠ ABD = ∠ ACD = 90^{\circ}$，点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$上，$ED$平分$∠ BEF$。
(1) 求证：$FD$平分$∠ EFC$；
(2) 若$EF = 7$，$AF = 8$，$AE = 6$，求$BE + CF$的值。

(1) 证明见上；(2) 7。

(1) 过点D作DG⊥EF于G。
∵ED平分∠BEF，∠ABD=90°，DG⊥EF，
∴DB=DG（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BD=CD，∴DG=CD。
∵∠ACD=90°，即DC⊥FC，DG⊥EF，
∴FD平分∠EFC（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
(2) 在Rt△EBD和Rt△EGD中，
$\{\begin{array}{l} ED=ED \\ DB=DG \end{array} $，
∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL），∴BE=EG。
同理，Rt△FCD≌Rt△FGD（HL），∴CF=FG。
∵EF=EG+FG，∴EF=BE+CF。
∵EF=7，∴BE+CF=7。

15. 端午节临近，某班计划在劳动课上包粽子，需使用糯米和红豆两款材料。购买$3$包糯米和$2$包红豆需$84$元，购买$2$包糯米和$3$包红豆需$86$元。
(1) 购买一包糯米和一包红豆各需多少元？
(2) 该班打算购买糯米和红豆共$20$包，总费用不超过$330$元，则至少购买糯米多少包？

(1) 设购买一包糯米需$x$元，一包红豆需$y$元。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 84, \\2x + 3y = 86.\end{cases}$
解这个方程组，首先将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，得到：
$\begin{cases}6x + 4y = 168, \\6x + 9y = 258.\end{cases}$
然后，用第二个新方程减去第一个新方程，得到：
$5y = 90 \implies y = 18 \text(（元），（方程2）*3-（方程1）*2:$
$6x + 9y -6x -4y=258-168$
将$y = 18$代入原方程组的任一方程求解$x$，例如代入$3x + 2y = 84$，得到：
$3x + 2 × 18 = 84 \implies 3x = 48 \implies x = 16 \mathrm{（ 元）}$
所以，购买一包糯米需16元，一包红豆需18元。
(2) 设购买糯米$a$包，则购买红豆$(20 - a)$包。
根据题意和第一问的结果，列出不等式：
$16a + 18(20 - a) ≤ 330$，
去括号得：
$16a + 360 - 18a ≤ 330$，
移项得：
$16a - 18a ≤ 330-360$
合并同类项得：
$-2a ≤ -30$
系数化为$1$得：
$a ≥ 15$，
所以，至少需要购买糯米15包。

16. 提升题 如图，已知$BN$是$∠ ABC$的平分线，$P$为$BN$上的一点，$PF⊥ BC$于点$F$，$PA = PC$。
(1) 求证：$∠ PCB + ∠ BAP = 180^{\circ}$；
(2) 若$BC = 12\mathrm{cm}$，$AB = 6\mathrm{cm}$，$PA = 5\mathrm{cm}$，求$BP$的长。

(1) 过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E。
∵BN是∠ABC的平分线，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PF（角平分线的性质）。
在Rt△PEA和Rt△PFC中，
∵PA=PC，PE=PF，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL）。
∴∠PAE=∠PCB。
∵∠PAE+∠BAP=180°（平角定义），
∴∠PCB+∠BAP=180°。
(2) 设AE=CF=x。
∵Rt△PEA≌Rt△PFC，∴AE=CF=x。
∵BE=AB+AE=6+x，BF=BC-CF=12-x，
又∵PE=PF，BP=BP，
∴Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），∴BE=BF。
∴6+x=12-x，解得x=3。
∴AE=3cm，在Rt△PEA中，PE=√(PA²-AE²)=√(5²-3²)=4cm。
在Rt△PEB中，BE=6+x=9cm，
∴BP=√(BE²+PE²)=√(9²+4²)=√97cm。
(1) 得证；(2) BP的长为√97cm。