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9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 33^{\circ}$，将$△ ABC$绕着点$B$逆时针旋转得到$△ EBD$，$C$的对应点$D$恰好落在$AC$上。若$BD$平分$∠ ABC$，则$∠ EBA$的度数是。
答案
38
解析
设∠ABD=∠DBC=x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2x。
∵△ABC绕点B旋转得△EBD，∴BD=BC，∠EBD=∠ABC=2x。
∴△BDC中，∠BDC=∠C。
∵∠BDC是△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=33°+x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即33°+2x+∠C=180°，∴∠C=147°-2x。
∵∠BDC=∠C，∴33°+x=147°-2x，解得x=38°。
∴∠EBD=2x=76°，∠ABD=38°，∴∠EBA=∠EBD-∠ABD=76°-38°=38°。
∵△ABC绕点B旋转得△EBD，∴BD=BC，∠EBD=∠ABC=2x。
∴△BDC中，∠BDC=∠C。
∵∠BDC是△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=33°+x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即33°+2x+∠C=180°，∴∠C=147°-2x。
∵∠BDC=∠C，∴33°+x=147°-2x，解得x=38°。
∴∠EBD=2x=76°，∠ABD=38°，∴∠EBA=∠EBD-∠ABD=76°-38°=38°。
10. 如图，在平面直角坐标系中，$AB⊥ y$轴，垂足为$B$，将$△ ABO$绕点$A$顺时针旋转到$△ AB_{1}O_{1}$的位置，使点$B$的对应点$B_{1}$落在直线$y = \frac{3}{4}x$上，再将$△ AB_{1}O_{1}$绕点$B_{1}$顺时针旋转到$△ A_{1}B_{1}O_{2}$的位置，使点$O_{1}$的对应点$O_{2}$也落在直线$y = \frac{3}{4}x$上……以此进行下去。若点$B$的坐标为$(0,3)$，则$OB_{2025}$的长为。
答案
12153
解析
由题意知，$AB ⊥ y$轴，$B(0,3)$，设$A(4,3)$（因为$AB=4$，$OB=3$，构成直角三角形）。
第一次旋转：绕$A$顺时针旋转$△ ABO$得$△ AB_1O_1$，$B_1$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，求得$B_1(\frac{36}{5},\frac{27}{5})$，$OB_1=9=3×3$。
第二次旋转：绕$B_1$顺时针旋转$△ AB_1O_1$得$△ A_1B_1O_2$，$O_2$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，后续旋转规律为每旋转一次，$OB_n$长度增加$6$，即$OB_n=3(2n+1)$。
故$OB_{2025}=3×(2×2025+1)=12153$。
第一次旋转：绕$A$顺时针旋转$△ ABO$得$△ AB_1O_1$，$B_1$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，求得$B_1(\frac{36}{5},\frac{27}{5})$，$OB_1=9=3×3$。
第二次旋转：绕$B_1$顺时针旋转$△ AB_1O_1$得$△ A_1B_1O_2$，$O_2$在直线$y=\frac{3}{4}x$上，后续旋转规律为每旋转一次，$OB_n$长度增加$6$，即$OB_n=3(2n+1)$。
故$OB_{2025}=3×(2×2025+1)=12153$。
11. 提升题 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ B = 30^{\circ}$，$BC = 6$，$D$为$BC$的中点，$E$为$AB$上一点，把$△ BDE$沿$DE$翻折得到$△ FDE$。若$FE$与$△ ABC$的直角边垂直，则$BE$的长为。
答案
√3或3
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，可得AC=2√3，AB=4√3，D为BC中点，BD=3。分两种情况讨论：
情况一：FE⊥BC（x轴）
设E(m,n)，E在AB上，AB方程为y=(-√3/3)x+2√3。翻折后F(m,q)，FE=BE，FD=3。由翻折性质得(q-n)²=(m-6)²+n²且(m-3)²+q²=9，解得m=9/2或3/2。
当m=9/2时，BE=√[(9/2-6)²+(√3/2)²]=√3；
当m=3/2时，F在BC下方，FE垂直BC延长线，舍去。
情况二：FE⊥AC（y轴）
FE平行x轴，F(p,n)，p=m-3。由FD=3得(m-6)²+n²=9，代入n=(-√3/3)m+2√3，解得BE=3。
综上，BE的长为√3或3。
情况一：FE⊥BC（x轴）
设E(m,n)，E在AB上，AB方程为y=(-√3/3)x+2√3。翻折后F(m,q)，FE=BE，FD=3。由翻折性质得(q-n)²=(m-6)²+n²且(m-3)²+q²=9，解得m=9/2或3/2。
当m=9/2时，BE=√[(9/2-6)²+(√3/2)²]=√3；
当m=3/2时，F在BC下方，FE垂直BC延长线，舍去。
情况二：FE⊥AC（y轴）
FE平行x轴，F(p,n)，p=m-3。由FD=3得(m-6)²+n²=9，代入n=(-√3/3)m+2√3，解得BE=3。
综上，BE的长为√3或3。
三、解答题
12. 解不等式组$\begin{cases}3x - 1≤ - x + 7,\frac{x - 1}{3}＜x + 1,\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来。
12. 解不等式组$\begin{cases}3x - 1≤ - x + 7,\frac{x - 1}{3}＜x + 1,\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来。
答案
$-2 ＜ x ≤ 2$
解析
解不等式组：
$\begin{cases}3x - 1 ≤ -x + 7, \\frac{x - 1}{3} ＜ x + 1.\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 1 ≤ -x + 7$
移项得：$3x + x ≤ 7 + 1$
合并同类项得：$4x ≤ 8$
系数化为1得：$x ≤ 2$
解第二个不等式：
$\frac{x - 1}{3} ＜ x + 1$
两边同乘3得：$x - 1 ＜ 3x + 3$
移项得：$x - 3x ＜ 3 + 1$
合并同类项得：$-2x ＜ 4$
系数化为1得：$x ＞ -2$
不等式组的解集为： $-2 ＜ x ≤ 2$
数轴表示：
在数轴上表示为：-2处空心圆圈向右，2处实心圆点向左，两区间重合部分为解集。
（数轴表示：在给定数轴上，-2处画空心圆圈，2处画实心圆点，连接两点间的线段）
最终
$\begin{cases}3x - 1 ≤ -x + 7, \\frac{x - 1}{3} ＜ x + 1.\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 1 ≤ -x + 7$
移项得：$3x + x ≤ 7 + 1$
合并同类项得：$4x ≤ 8$
系数化为1得：$x ≤ 2$
解第二个不等式：
$\frac{x - 1}{3} ＜ x + 1$
两边同乘3得：$x - 1 ＜ 3x + 3$
移项得：$x - 3x ＜ 3 + 1$
合并同类项得：$-2x ＜ 4$
系数化为1得：$x ＞ -2$
不等式组的解集为： $-2 ＜ x ≤ 2$
数轴表示：
在数轴上表示为：-2处空心圆圈向右，2处实心圆点向左，两区间重合部分为解集。
（数轴表示：在给定数轴上，-2处画空心圆圈，2处画实心圆点，连接两点间的线段）
最终
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，且$BD = DE$，连接$AE$。
(1) 求证：$AB = EC$；
(2) 若$△ ABC$的周长为$20\mathrm{cm}$，$AC = 9\mathrm{cm}$，求$DC$的长。
(1) 求证：$AB = EC$；
(2) 若$△ ABC$的周长为$20\mathrm{cm}$，$AC = 9\mathrm{cm}$，求$DC$的长。
答案
(1) 见证明过程；(2) 5.5cm。
解析
(1) 证明：
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l} BD=DE \\ ∠ADB=∠ADE \\ AD=AD \end{array} $，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴AB=AE，
又∵EA=EC，
∴AB=EC。
(2) ∵△ABC周长为20cm，AC=9cm，
∴AB+BC+AC=20，即AB+BC=11cm。
设BD=DE=x，由(1)知AB=EC，设AB=EC=y，
则BC=BD+DE+EC=2x+y，
∴AB+BC=y+(2x+y)=2x+2y=11，
∴x+y=5.5。
∵DC=DE+EC=x+y，
∴DC=5.5cm。
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l} BD=DE \\ ∠ADB=∠ADE \\ AD=AD \end{array} $，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴AB=AE，
又∵EA=EC，
∴AB=EC。
(2) ∵△ABC周长为20cm，AC=9cm，
∴AB+BC+AC=20，即AB+BC=11cm。
设BD=DE=x，由(1)知AB=EC，设AB=EC=y，
则BC=BD+DE+EC=2x+y，
∴AB+BC=y+(2x+y)=2x+2y=11，
∴x+y=5.5。
∵DC=DE+EC=x+y，
∴DC=5.5cm。
