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21. ($\star\star$)探究并解决问题.
(1)通过计算下列各式的值探究问题.
①$\sqrt{4^{2}}=$；$\sqrt{16^{2}}=$；$\sqrt{0^{2}}=$；$\sqrt{(\dfrac{1}{9})^{2}}=$.
探究：对于任意非负有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
②$\sqrt{(-3)^{2}}=$；$\sqrt{(-5)^{2}}=$；$\sqrt{(-1)^{2}}=$；$\sqrt{(-2)^{2}}=$.
探究：对于任意负有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
综上，对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
(2)应用(1)中所得结论解决问题.
有理数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^{2}}+\vert b - a\vert-\sqrt{(a - b)^{2}}$.
(1)通过计算下列各式的值探究问题.
①$\sqrt{4^{2}}=$；$\sqrt{16^{2}}=$；$\sqrt{0^{2}}=$；$\sqrt{(\dfrac{1}{9})^{2}}=$.
探究：对于任意非负有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
②$\sqrt{(-3)^{2}}=$；$\sqrt{(-5)^{2}}=$；$\sqrt{(-1)^{2}}=$；$\sqrt{(-2)^{2}}=$.
探究：对于任意负有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
综上，对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^{2}}=$.
(2)应用(1)中所得结论解决问题.
有理数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^{2}}+\vert b - a\vert-\sqrt{(a - b)^{2}}$.
答案
$\underline{-a}$。
解析
(1) ① $\sqrt{4^2}= \underline{4}$； $\sqrt{16^2}= \underline{16}$； $\sqrt{0^2}= \underline{0}$； $\sqrt{(\frac{1}{9})^2}= \underline{\frac{1}{9}}$。
探究：对于任意非负有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{a}$。
② $\sqrt{(-3)^2}= \underline{3}$； $\sqrt{(-5)^2}= \underline{5}$； $\sqrt{(-1)^2}= \underline{1}$； $\sqrt{(-2)^2}= \underline{2}$。
探究：对于任意负有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{-a}$。
综上，对于任意有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{|a|}$。
(2) 由数轴图可知：$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，$b - a ＞ 0$，$a - b ＜ 0$。
化简：
$\sqrt{a^2} + |b - a| - \sqrt{(a - b)^2} = |a| + |b - a| - |a - b|= -a + (b - a) - (b - a)= -a$。
最终
探究：对于任意非负有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{a}$。
② $\sqrt{(-3)^2}= \underline{3}$； $\sqrt{(-5)^2}= \underline{5}$； $\sqrt{(-1)^2}= \underline{1}$； $\sqrt{(-2)^2}= \underline{2}$。
探究：对于任意负有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{-a}$。
综上，对于任意有理数 $a$，$\sqrt{a^2}= \underline{|a|}$。
(2) 由数轴图可知：$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，$b - a ＞ 0$，$a - b ＜ 0$。
化简：
$\sqrt{a^2} + |b - a| - \sqrt{(a - b)^2} = |a| + |b - a| - |a - b|= -a + (b - a) - (b - a)= -a$。
最终
22. ($\star$)下列各组数互为相反数的是 【 】
A.$-3$与$\sqrt{(-3)^{2}}$
B.$-3$与$\sqrt[3]{(-3)^{3}}$
C.$\sqrt{3}$与$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D.$3$与$\vert -3\vert$
A.$-3$与$\sqrt{(-3)^{2}}$
B.$-3$与$\sqrt[3]{(-3)^{3}}$
C.$\sqrt{3}$与$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D.$3$与$\vert -3\vert$
答案
A
解析
A. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$-3$与$3$互为相反数，符合题意；B. $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，$-3$与$-3$相等，不符合；C. $\sqrt{3}$与$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$互为倒数，不符合；D. $\vert -3\vert=3$，$3$与$3$相等，不符合。
23. ($\star\star$)正整数$a$，$b$分别满足$\sqrt[3]{55}＜ a＜\sqrt[3]{97}$，$\sqrt{7}＜ b＜\sqrt{15}$，则$b^{a}=$ 【 】
A.$16$
B.$27$
C.$64$
D.$81$
A.$16$
B.$27$
C.$64$
D.$81$
答案
D
解析
因为$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，且$\sqrt[3]{55} ＜ a ＜ \sqrt[3]{97}$，所以$a = 4$；因为$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$\sqrt{7} ＜ b ＜ \sqrt{15}$，所以$b = 3$；则$b^a = 3^4 = 81$。
24. ($\star\star$)如果$a$，$b$表示两个实数，那么下列命题正确的是 【 】
A.若$\vert a\vert=\vert b\vert$，则$a = b$
B.若$a＜ b$，则$\sqrt{a^{2}}＜\sqrt{b^{2}}$
C.若$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$，则$\sqrt{a}=\sqrt{b}$
D.若$a＞b$，则$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$
A.若$\vert a\vert=\vert b\vert$，则$a = b$
B.若$a＜ b$，则$\sqrt{a^{2}}＜\sqrt{b^{2}}$
C.若$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$，则$\sqrt{a}=\sqrt{b}$
D.若$a＞b$，则$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$
答案
D
解析
A选项， 绝对值的性质知道，若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等或互为相反数，故此命题错误；
B选项，取$a = -3，b = 1$，则$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3，\sqrt{b^2} = \sqrt{1^2} = 1$，有$3 ＞ 1$，即$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{b^2}$，故此命题错误；
C选项，若$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$，则立方后得$a = b$，但当$a、b$为负数时，$\sqrt{a}、\sqrt{b}$无意义，故此命题错误；
D选项，根据立方根函数的单调性，若$a ＞ b$，则$\sqrt[3]{a} ＞ \sqrt[3]{b}$，故此命题正确。
25. ($\star\star$)已知$\vert x - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}$，则$x$的值为.
答案
①当$x - \sqrt{2}≥0$时，
$x - \sqrt{2}=\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}+\sqrt{2}$
$x = 2\sqrt{2}$
②当$x - \sqrt{2}＜0$时，
$x - \sqrt{2}=-\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$x = 0$
综上，$x$的值为$0$或$2\sqrt{2}$。
$x - \sqrt{2}=\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}+\sqrt{2}$
$x = 2\sqrt{2}$
②当$x - \sqrt{2}＜0$时，
$x - \sqrt{2}=-\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$x = 0$
综上，$x$的值为$0$或$2\sqrt{2}$。
26. ($\star\star$)对于任意的两个实数$a$，$b$，定义运算$※$如下：$a※b=\begin{cases}a^{2}+b(a＜ b,或a = b),\\a^{2}-b(a＞b).\end{cases}$若$x※2 = 8$，则$x$的值为 ______ .
答案
分两种情况讨论：
情况1： 当$x ≤ 2$（即$x ＜ 2$或$x = 2$）时，根据定义$x※2 = x^2 + 2$。
由$x※2 = 8$，得方程：
$x^2 + 2 = 8$
解得$x^2 = 6$，$x = \pm\sqrt{6}$。
因$x ≤ 2$，$\sqrt{6} \approx 2.45 ＞ 2$（舍去），$-\sqrt{6} \approx -2.45 ≤ 2$（保留）。
情况2： 当$x ＞ 2$时，根据定义$x※2 = x^2 - 2$。
由$x※2 = 8$，得方程：
$x^2 - 2 = 8$
解得$x^2 = 10$，$x = \pm\sqrt{10}$。
因$x ＞ 2$，$-\sqrt{10} \approx -3.16 ＜ 2$（舍去），$\sqrt{10} \approx 3.16 ＞ 2$（保留）。
综上，$x$的值为$\sqrt{10}$或$-\sqrt{6}$。
$\sqrt{10}$或$-\sqrt{6}$
情况1： 当$x ≤ 2$（即$x ＜ 2$或$x = 2$）时，根据定义$x※2 = x^2 + 2$。
由$x※2 = 8$，得方程：
$x^2 + 2 = 8$
解得$x^2 = 6$，$x = \pm\sqrt{6}$。
因$x ≤ 2$，$\sqrt{6} \approx 2.45 ＞ 2$（舍去），$-\sqrt{6} \approx -2.45 ≤ 2$（保留）。
情况2： 当$x ＞ 2$时，根据定义$x※2 = x^2 - 2$。
由$x※2 = 8$，得方程：
$x^2 - 2 = 8$
解得$x^2 = 10$，$x = \pm\sqrt{10}$。
因$x ＞ 2$，$-\sqrt{10} \approx -3.16 ＜ 2$（舍去），$\sqrt{10} \approx 3.16 ＞ 2$（保留）。
综上，$x$的值为$\sqrt{10}$或$-\sqrt{6}$。
$\sqrt{10}$或$-\sqrt{6}$
27. ($\star\star$)计算：
(1)$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}+\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(2)$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert+\vert\sqrt{2}-1\vert-\vert3-\sqrt{6}\vert$；
(3)$\vert\sqrt{5}-3\vert-\sqrt[3]{-8}+\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})-\sqrt{16}$；
(4)$-\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-2)^{2}}+(\sqrt{4})^{2}+\left\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\right\vert$.
(1)$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}+\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(2)$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert+\vert\sqrt{2}-1\vert-\vert3-\sqrt{6}\vert$；
(3)$\vert\sqrt{5}-3\vert-\sqrt[3]{-8}+\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})-\sqrt{16}$；
(4)$-\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-2)^{2}}+(\sqrt{4})^{2}+\left\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\right\vert$.
答案
(1)
首先计算$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}$：
$\dfrac{37}{64}-1=\dfrac{37 - 64}{64}=-\dfrac{27}{64}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$；
然后计算$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$：
$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$，$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$；
最后将两部分结果相加：
$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}+\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{2}$。
(2)
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{2}$，所以$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert=\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$\vert\sqrt{2}-1\vert=\sqrt{2}-1$；
因为$3＞\sqrt{6}$，所以$\vert3 - \sqrt{6}\vert=3-\sqrt{6}$；
则$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert+\vert\sqrt{2}-1\vert-\vert3-\sqrt{6}\vert$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1-(3 - \sqrt{6})$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 - 3+\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}-4$。
(3)
因为$\sqrt{5}＜3$，所以$\vert\sqrt{5}-3\vert=3 - \sqrt{5}$；
$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})=\sqrt{5}×\sqrt{5}+\sqrt{5}×\dfrac{1}{\sqrt{5}}=5 + 1 = 6$；
$\sqrt{16}=4$；
则$\vert\sqrt{5}-3\vert-\sqrt[3]{-8}+\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})-\sqrt{16}$
$=3 - \sqrt{5}-(-2)+6 - 4$
$=3 - \sqrt{5}+2+6 - 4$
$=7 - \sqrt{5}$。
(4)
$\sqrt[3]{27}=3$，所以$-\sqrt[3]{27}=-3$；
$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$；
$(\sqrt{4})^{2}=4$；
$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$，$\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\vert=\vert1-\dfrac{3}{2}\vert=\dfrac{1}{2}$；
则$-\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-2)^{2}}+(\sqrt{4})^{2}+\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\vert$
$=-3 - 2+4+\dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$。
综上，答案依次为：(1)$\dfrac{1}{2}$；(2)$2\sqrt{6}-4$；(3)$7 - \sqrt{5}$；(4)$-\dfrac{1}{2}$。
首先计算$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}$：
$\dfrac{37}{64}-1=\dfrac{37 - 64}{64}=-\dfrac{27}{64}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$；
然后计算$\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$：
$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$，$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$；
最后将两部分结果相加：
$\sqrt[3]{\dfrac{37}{64}-1}+\sqrt{1\dfrac{9}{16}}=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{2}$。
(2)
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{2}$，所以$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert=\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$\vert\sqrt{2}-1\vert=\sqrt{2}-1$；
因为$3＞\sqrt{6}$，所以$\vert3 - \sqrt{6}\vert=3-\sqrt{6}$；
则$\vert\sqrt{2}-\sqrt{6}\vert+\vert\sqrt{2}-1\vert-\vert3-\sqrt{6}\vert$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1-(3 - \sqrt{6})$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 - 3+\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}-4$。
(3)
因为$\sqrt{5}＜3$，所以$\vert\sqrt{5}-3\vert=3 - \sqrt{5}$；
$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})=\sqrt{5}×\sqrt{5}+\sqrt{5}×\dfrac{1}{\sqrt{5}}=5 + 1 = 6$；
$\sqrt{16}=4$；
则$\vert\sqrt{5}-3\vert-\sqrt[3]{-8}+\sqrt{5}×(\sqrt{5}+\dfrac{1}{\sqrt{5}})-\sqrt{16}$
$=3 - \sqrt{5}-(-2)+6 - 4$
$=3 - \sqrt{5}+2+6 - 4$
$=7 - \sqrt{5}$。
(4)
$\sqrt[3]{27}=3$，所以$-\sqrt[3]{27}=-3$；
$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$；
$(\sqrt{4})^{2}=4$；
$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$，$\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\vert=\vert1-\dfrac{3}{2}\vert=\dfrac{1}{2}$；
则$-\sqrt[3]{27}-\sqrt{(-2)^{2}}+(\sqrt{4})^{2}+\vert1-\sqrt{2\dfrac{1}{4}}\vert$
$=-3 - 2+4+\dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$。
综上，答案依次为：(1)$\dfrac{1}{2}$；(2)$2\sqrt{6}-4$；(3)$7 - \sqrt{5}$；(4)$-\dfrac{1}{2}$。
