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14. ($\star$)若$a = -\sqrt{3^{2}}$，$b = -\vert -\sqrt{2}\vert$，$c =\sqrt[3]{(-2)^{3}}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是 【 】
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$b＞c＞a$
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$b＞c＞a$
答案
D
解析
首先计算 $a$，$b$，$c$ 的值：
$a = -\sqrt{3^{2}} = -\sqrt{9} = -3$，
$b = -\vert -\sqrt{2}\vert = -\sqrt{2}$，
$c = \sqrt[3]{(-2)^{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
然后比较大小：
$-\sqrt{2} \approx -1.414$，
所以 $-1.414 ＞ -2 ＞ -3$，即 $b ＞ c ＞ a$（或根据数值直接比较：$-\sqrt{2} ＞ -2 ＞ -3$）。
15. ($\star\star$)一个棱长为$1$dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加$1$倍，则这个新正方体的棱长是dm.
答案
新正方体积为原正方体体积的2倍，原体积为：
$V_{\mathrm{原}} = 1^3 = 1 \mathrm{dm}^3$，
新体积为：
$V_{\mathrm{新}} = 2 × V_{\mathrm{原}} = 2 \mathrm{dm}^3$，
设新正方体的棱长为 $a$，则新体积为：
$V_{\mathrm{新}} = a^3$，
由 $a^3 = 2$，解得：
$a = \sqrt[3]{2} \mathrm{dm}$。
故答案为：$\sqrt[3]{2}$。
$V_{\mathrm{原}} = 1^3 = 1 \mathrm{dm}^3$，
新体积为：
$V_{\mathrm{新}} = 2 × V_{\mathrm{原}} = 2 \mathrm{dm}^3$，
设新正方体的棱长为 $a$，则新体积为：
$V_{\mathrm{新}} = a^3$，
由 $a^3 = 2$，解得：
$a = \sqrt[3]{2} \mathrm{dm}$。
故答案为：$\sqrt[3]{2}$。
16. ($\star\star$)(2024·成都改编)若$m$，$n$为实数，且$(m + 4)^{2}+\sqrt{n - 5}=0$，则$(m + n)^{2}$的平方根为.
答案
由题意得，$(m + 4)^{2} ≥ 0$，$\sqrt{n - 5} ≥ 0$，
又$(m + 4)^{2} + \sqrt{n - 5} = 0$，
所以$(m + 4)^{2} = 0$，$\sqrt{n - 5} = 0$，
即$m + 4 = 0$，$n - 5 = 0$，
解得$m = - 4$，$n = 5$，
所以$(m + n)^{2} = ( - 4 + 5)^{2} = 1$，
因此$(m + n)^{2}$的平方根为$\pm 1$。
故答案为：$\pm 1$。
又$(m + 4)^{2} + \sqrt{n - 5} = 0$，
所以$(m + 4)^{2} = 0$，$\sqrt{n - 5} = 0$，
即$m + 4 = 0$，$n - 5 = 0$，
解得$m = - 4$，$n = 5$，
所以$(m + n)^{2} = ( - 4 + 5)^{2} = 1$，
因此$(m + n)^{2}$的平方根为$\pm 1$。
故答案为：$\pm 1$。
17. ($\star\star$)比较下列各组数的大小：
(1)$3.5$与$\sqrt{10}$；
(2)$\dfrac{3}{2}$与$\sqrt[3]{7}$.
(1)$3.5$与$\sqrt{10}$；
(2)$\dfrac{3}{2}$与$\sqrt[3]{7}$.
答案
(1)
$3.5=\sqrt{3.5^{2}}=\sqrt{12.25}$，
因为$12.25＞10$，且当$a＞0,b＞0$时，若$a ＞ b$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
所以$\sqrt{12.25}＞\sqrt{10}$，即$3.5＞\sqrt{10}$。
(2)
$(\dfrac{3}{2})^{3}=\dfrac{27}{8}=3.375$，
因为$3.375＜7$，且当$a＞0,b＞0$时，若$a ＜ b$，则$\sqrt[3]{a}＜\sqrt[3]{b}$，
所以$\sqrt[3]{3.375}＜\sqrt[3]{7}$，即$\dfrac{3}{2}＜\sqrt[3]{7}$。
$3.5=\sqrt{3.5^{2}}=\sqrt{12.25}$，
因为$12.25＞10$，且当$a＞0,b＞0$时，若$a ＞ b$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
所以$\sqrt{12.25}＞\sqrt{10}$，即$3.5＞\sqrt{10}$。
(2)
$(\dfrac{3}{2})^{3}=\dfrac{27}{8}=3.375$，
因为$3.375＜7$，且当$a＞0,b＞0$时，若$a ＜ b$，则$\sqrt[3]{a}＜\sqrt[3]{b}$，
所以$\sqrt[3]{3.375}＜\sqrt[3]{7}$，即$\dfrac{3}{2}＜\sqrt[3]{7}$。
18. ($\star\star$)如图，计划围一个长方形场地$ABCD(AB＜ BC)$，面积为$50$m$^{2}$，一边靠墙(墙长为$10$m)，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为$5:2$.请判断：这样的计划能实现吗？为什么？
答案
不能实现。
设长方形的长为$5x$m，宽为$2x$m，由题意得：
$5x · 2x = 50$，即$10x^2 = 50$，解得$x^2 = 5$，$x = \sqrt{5}$（$x ＞ 0$）。
则长为$5\sqrt{5} \approx 11.18$m，宽为$2\sqrt{5} \approx 4.47$m。
因$AB ＜ BC$，故$BC$为长，$AB$为宽。若靠墙边为长（$BC$），则墙长需至少$5\sqrt{5} \approx 11.18$m，而墙长仅10m，$11.18 ＞ 10$，不满足；若靠墙边为宽（$AB$），虽墙长足够，但此时长$BC \approx 11.18$m，与实际场地规划中长靠墙以节省篱笆的常规矛盾，且题目隐含靠墙边为长边。综上，计划不能实现。
设长方形的长为$5x$m，宽为$2x$m，由题意得：
$5x · 2x = 50$，即$10x^2 = 50$，解得$x^2 = 5$，$x = \sqrt{5}$（$x ＞ 0$）。
则长为$5\sqrt{5} \approx 11.18$m，宽为$2\sqrt{5} \approx 4.47$m。
因$AB ＜ BC$，故$BC$为长，$AB$为宽。若靠墙边为长（$BC$），则墙长需至少$5\sqrt{5} \approx 11.18$m，而墙长仅10m，$11.18 ＞ 10$，不满足；若靠墙边为宽（$AB$），虽墙长足够，但此时长$BC \approx 11.18$m，与实际场地规划中长靠墙以节省篱笆的常规矛盾，且题目隐含靠墙边为长边。综上，计划不能实现。
19. ($\star\star$)已知$2a - 1$的平方根是$\pm5$，$a - 3b - 1$的算术平方根是$3$，求$2a - b$的立方根.
答案
因为$2a - 1$的平方根是$\pm5$，所以$2a - 1 = (\pm5)^2 = 25$，解得$2a = 26$，$a = 13$。
因为$a - 3b - 1$的算术平方根是$3$，所以$a - 3b - 1 = 3^2 = 9$。将$a = 13$代入，得$13 - 3b - 1 = 9$，即$12 - 3b = 9$，$-3b = -3$，解得$b = 1$。
则$2a - b = 2×13 - 1 = 25$，所以$2a - b$的立方根是$\sqrt[3]{25}$。
$\sqrt[3]{25}$
（注：原答案中“$2a - b = 26 - 1 = 25$，$25$的立方根是$\sqrt[3]{25}$”，过程正确，最终结论为$\sqrt[3]{25}$。）
因为$a - 3b - 1$的算术平方根是$3$，所以$a - 3b - 1 = 3^2 = 9$。将$a = 13$代入，得$13 - 3b - 1 = 9$，即$12 - 3b = 9$，$-3b = -3$，解得$b = 1$。
则$2a - b = 2×13 - 1 = 25$，所以$2a - b$的立方根是$\sqrt[3]{25}$。
$\sqrt[3]{25}$
（注：原答案中“$2a - b = 26 - 1 = 25$，$25$的立方根是$\sqrt[3]{25}$”，过程正确，最终结论为$\sqrt[3]{25}$。）
20. ($\star\star$)已知一个正方体的体积是$1000$cm$^{3}$，现要在它的$8$个角上分别截去$1$个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积是$488$cm$^{3}$.
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
(2)截完余下部分的表面积是多少？
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
(2)截完余下部分的表面积是多少？
答案
(1) 设每个小正方体的棱长为 $x$ cm。
根据题意，8个小正方体的总体积为 $1000 - 488 = 512 \mathrm{(}cm^3\mathrm{)}$。
因此，可列方程：
$8x^3 = 512$
解得：
$x^3 = 64$
$x = 4$
答：截去的每个小正方体的棱长是 $4$ cm。
(2) 原始正方体的边长为 $\sqrt[3]{1000} = 10(cm)$。
由于截去的小正方体一个位于大正方体的角上，所以每截去一个小正方体，大正方体就会减少三个面，但同时也会新增三个面，所以表面积不变，
因此，截完余下部分的表面积仍然是原始正方体的表面积，即：
$6 × 10^2 = 600(cm^2)$，
答：截完余下部分的表面积是 $600cm^2$。
根据题意，8个小正方体的总体积为 $1000 - 488 = 512 \mathrm{(}cm^3\mathrm{)}$。
因此，可列方程：
$8x^3 = 512$
解得：
$x^3 = 64$
$x = 4$
答：截去的每个小正方体的棱长是 $4$ cm。
(2) 原始正方体的边长为 $\sqrt[3]{1000} = 10(cm)$。
由于截去的小正方体一个位于大正方体的角上，所以每截去一个小正方体，大正方体就会减少三个面，但同时也会新增三个面，所以表面积不变，
因此，截完余下部分的表面积仍然是原始正方体的表面积，即：
$6 × 10^2 = 600(cm^2)$，
答：截完余下部分的表面积是 $600cm^2$。
