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1. ($\star$)“$\dfrac{64}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{8}{7}$”用式子表示正确的是 【 】
A.$\pm\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\pm\dfrac{8}{7}$
B.$\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\pm\dfrac{8}{7}$
C.$\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\dfrac{8}{7}$
D.$-\sqrt{\dfrac{64}{49}}=-\dfrac{8}{7}$
A.$\pm\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\pm\dfrac{8}{7}$
B.$\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\pm\dfrac{8}{7}$
C.$\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\dfrac{8}{7}$
D.$-\sqrt{\dfrac{64}{49}}=-\dfrac{8}{7}$
答案
A
解析
“$\dfrac{64}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{8}{7}$”用式子表示为$\pm\sqrt{\dfrac{64}{49}}=\pm\dfrac{8}{7}$，选项A正确；选项B中$\sqrt{\dfrac{64}{49}}$表示算术平方根，结果应为$\dfrac{8}{7}$，不能带$\pm$；选项C只表示了算术平方根，不完整；选项D只表示了负平方根，不完整。
2. ($\star$)$\sqrt{(-9)^{2}}$的平方根是.
答案
$\pm 3$
解析：首先计算$\sqrt{(-9)^{2}} = \sqrt{81} = 9$，然后求$9$的平方根，即$\pm \sqrt{9} = \pm 3$。
解析：首先计算$\sqrt{(-9)^{2}} = \sqrt{81} = 9$，然后求$9$的平方根，即$\pm \sqrt{9} = \pm 3$。
3. ($\star\star$)已知$(x - 2)^{2}=9$，则$x$的值是.
答案
由$(x - 2)^{2} = 9$，根据平方根的定义，可得：
$x - 2 = \pm 3$，
当$x - 2 = 3$时，解得：
$x = 5$，
当$x - 2 = -3$时，解得：
$x = -1$，
所以$x$的值为$5$或$-1$。
$x - 2 = \pm 3$，
当$x - 2 = 3$时，解得：
$x = 5$，
当$x - 2 = -3$时，解得：
$x = -1$，
所以$x$的值为$5$或$-1$。
4. ($\star$)下列说法正确的是 【 】
A.$-9$的平方根是$\pm3$
B.$\sqrt{25}$的算术平方根是$5$
C.一个实数的算术平方根一定是正数
D.$0$的算术平方根与平方根都是$0$
A.$-9$的平方根是$\pm3$
B.$\sqrt{25}$的算术平方根是$5$
C.一个实数的算术平方根一定是正数
D.$0$的算术平方根与平方根都是$0$
答案
D
解析
A.负数没有平方根，-9没有平方根，A错误；B.$\sqrt{25}=5$，5的算术平方根是$\sqrt{5}$，B错误；C.0的算术平方根是0，不是正数，C错误；D.0的算术平方根与平方根都是0，D正确。
5. ($\star$)(2024·资阳)若$\sqrt{5}＜ m＜\sqrt{10}$，则整数$m$的值为 【 】
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
B
解析
首先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$的范围，
由于$2^2 = 4 ＜ 5$且$3^2 = 9 ＞ 5$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
同样地，由于$3^2 = 9 ＜ 10$且$4^2 = 16 ＞ 10$，所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
根据题目条件$\sqrt{5} ＜ m ＜ \sqrt{10}$，结合上面的估算，可以得出唯一满足条件的整数$m$为$3$，
由于$2^2 = 4 ＜ 5$且$3^2 = 9 ＞ 5$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
同样地，由于$3^2 = 9 ＜ 10$且$4^2 = 16 ＞ 10$，所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
根据题目条件$\sqrt{5} ＜ m ＜ \sqrt{10}$，结合上面的估算，可以得出唯一满足条件的整数$m$为$3$，
6. ($\star$)如果$m$是$-125$的立方根，那么$m =$.
答案
因为$m$是$-125$的立方根，根据立方根的定义，若$x^3 = a$，则$x$是$a$的立方根。
由于$(-5)^3 = -125$，所以$m = -5$。
$-5$
由于$(-5)^3 = -125$，所以$m = -5$。
$-5$
7. ($\star\star$)已知$\sqrt[3]{6}=a$，则$\sqrt[3]{0.006}+\sqrt[3]{6000}=$ 【 】
A.$0.1a$
B.$a$
C.$1.1a$
D.$10.1a$
A.$0.1a$
B.$a$
C.$1.1a$
D.$10.1a$
答案
C（原（题目）选项对应（应为）D，这里（指本题填））D
解析
由题意$\sqrt[3]{6}=a$，
因为$0.006 = 6 × 0.001=6×(0.1)^3$，
所以$\sqrt[3]{0.006} = \sqrt[3]{6} × \sqrt[3]{(0.1)^3} = 0.1\sqrt[3]{6}=0.1a$，
因为$6000 = 6 × 1000=6×10^3$，
所以$\sqrt[3]{6000} = \sqrt[3]{6} × \sqrt[3]{10^3} = 10\sqrt[3]{6}=10a$，
所以$\sqrt[3]{0.006} + \sqrt[3]{6000} = 0.1a + 10a = 10.1a$。
因为$0.006 = 6 × 0.001=6×(0.1)^3$，
所以$\sqrt[3]{0.006} = \sqrt[3]{6} × \sqrt[3]{(0.1)^3} = 0.1\sqrt[3]{6}=0.1a$，
因为$6000 = 6 × 1000=6×10^3$，
所以$\sqrt[3]{6000} = \sqrt[3]{6} × \sqrt[3]{10^3} = 10\sqrt[3]{6}=10a$，
所以$\sqrt[3]{0.006} + \sqrt[3]{6000} = 0.1a + 10a = 10.1a$。
8. ($\star\star$)求下列各式中$x$的值：
(1)$2x^{2}-18 = 0$；
(2)$3(x + 1)^{3}-81 = 0$.
(1)$2x^{2}-18 = 0$；
(2)$3(x + 1)^{3}-81 = 0$.
答案
(1)
由$2x^{2}-18 = 0$，
移项得$2x^{2}=18$，
两边同时除以$2$得$x^{2}=9$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(2)
由$3(x + 1)^{3}-81 = 0$，
移项得$3(x + 1)^{3}=81$，
两边同时除以$3$得$(x + 1)^{3}=27$，
根据立方根的定义，$x + 1=\sqrt[3]{27}=3$，
移项得$x=3 - 1=2$。
由$2x^{2}-18 = 0$，
移项得$2x^{2}=18$，
两边同时除以$2$得$x^{2}=9$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(2)
由$3(x + 1)^{3}-81 = 0$，
移项得$3(x + 1)^{3}=81$，
两边同时除以$3$得$(x + 1)^{3}=27$，
根据立方根的定义，$x + 1=\sqrt[3]{27}=3$，
移项得$x=3 - 1=2$。
9. ($\star$)在实数$-\sqrt{3}$，$3.14$，$0$，$\dfrac{π}{2}$，$-\sqrt{9}$，$0.1616616661···$(相邻两个$1$之间依次多一个$6$)中，无理数的个数为 【 】
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
C
解析
本题可根据无理数和有理数的定义来判断所给实数中无理数的个数。
无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
$-\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，所以$-\sqrt{3}$是无理数。
$3.14$是有限小数，属于有理数。
$0$是整数，属于有理数。
$\dfrac{π}{2}$，因为$π$是一个无限不循环小数，所以$\dfrac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数。
$-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数。
$0.1616616661···$（相邻两个$1$之间依次多一个$6$）是无限不循环小数，所以是无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{3}$，$\dfrac{π}{2}$，$0.1616616661···$（相邻两个$1$之间依次多一个$6$），共$3$个。
无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
$-\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，所以$-\sqrt{3}$是无理数。
$3.14$是有限小数，属于有理数。
$0$是整数，属于有理数。
$\dfrac{π}{2}$，因为$π$是一个无限不循环小数，所以$\dfrac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数。
$-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数。
$0.1616616661···$（相邻两个$1$之间依次多一个$6$）是无限不循环小数，所以是无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{3}$，$\dfrac{π}{2}$，$0.1616616661···$（相邻两个$1$之间依次多一个$6$），共$3$个。
10. ($\star$)$\sqrt{5}$的绝对值等于，$\sqrt[3]{-8}$的相反数是，$1-\sqrt{2}$的绝对值是.
答案
第一空：
因为$\sqrt{5}＞0$，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，所以$\vert\sqrt{5}\vert = \sqrt{5}$。
第二空：
因为$\sqrt[3]{-8}=-2$，根据相反数的定义，$-2$的相反数是$2$，所以$\sqrt[3]{-8}$的相反数是$2$。
第三空：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1 - \sqrt{2}＜0$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert = \sqrt{2} - 1$。
综上，答案依次为：$\sqrt{5}$；$2$；$\sqrt{2} - 1$。
因为$\sqrt{5}＞0$，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，所以$\vert\sqrt{5}\vert = \sqrt{5}$。
第二空：
因为$\sqrt[3]{-8}=-2$，根据相反数的定义，$-2$的相反数是$2$，所以$\sqrt[3]{-8}$的相反数是$2$。
第三空：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1 - \sqrt{2}＜0$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert = \sqrt{2} - 1$。
综上，答案依次为：$\sqrt{5}$；$2$；$\sqrt{2} - 1$。
11. ($\star$)计算：$\sqrt{25}-\sqrt[3]{-8}=$.
答案
$\begin{aligned}\sqrt{25}-\sqrt[3]{-8} &= 5 - (-2) \\&= 5 + 2 \\&= 7\end{aligned}$
12. ($\star\star$)把下列实数表示在如图所示的数轴上，并比较它们的大小(用“$＜$”连接)：
$-2$，$\vert -2.5\vert$，$\sqrt{2}$，$(-2)^{2}$.
$-2$，$\vert -2.5\vert$，$\sqrt{2}$，$(-2)^{2}$.
答案
解题步骤：
1. 化简各实数：
$\vert -2.5\vert = 2.5$
$(-2)^2 = 4$
$\sqrt{2} \approx 1.414$（无需精确值，仅需在数轴上大致定位）
2. 在数轴上表示各数：
$-2$：位于原点左侧2个单位处；
$\sqrt{2}$：位于原点右侧，1和2之间（靠近1.4）；
$\vert -2.5\vert = 2.5$：位于原点右侧2.5个单位处；
$(-2)^2 = 4$：位于原点右侧4个单位处。
3. 比较大小：
数轴上从左到右依次为：$-2 ＜ \sqrt{2} ＜ 2.5 ＜ 4$
最终结论：
$-2 ＜ \sqrt{2} ＜ \vert -2.5\vert ＜ (-2)^2$
1. 化简各实数：
$\vert -2.5\vert = 2.5$
$(-2)^2 = 4$
$\sqrt{2} \approx 1.414$（无需精确值，仅需在数轴上大致定位）
2. 在数轴上表示各数：
$-2$：位于原点左侧2个单位处；
$\sqrt{2}$：位于原点右侧，1和2之间（靠近1.4）；
$\vert -2.5\vert = 2.5$：位于原点右侧2.5个单位处；
$(-2)^2 = 4$：位于原点右侧4个单位处。
3. 比较大小：
数轴上从左到右依次为：$-2 ＜ \sqrt{2} ＜ 2.5 ＜ 4$
最终结论：
$-2 ＜ \sqrt{2} ＜ \vert -2.5\vert ＜ (-2)^2$
13. ($\star$)下列选项正确的是 【 】
A.$81$的立方根是$3$
B.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$
C.立方根等于平方根的数是$1$
D.$4$的算术平方根是$2$
A.$81$的立方根是$3$
B.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$
C.立方根等于平方根的数是$1$
D.$4$的算术平方根是$2$
答案
D
解析
A选项中，因为$3^3 = 27（$这里应为$3^3=27$不对，正确为3的三次方是81的立方根对应情况即$ 3^3=27 $错误，正确是$ 3^3 $并不等于81，正确逻辑为因为 3 的三次方是 27 错误，应为$3^3=27≠81$，而4.326···的立方约为81，但数学上精确值为$ \sqrt[3]{81} = 3 \sqrt[3]{3} ≠ 3$，但在七年级可通过试算，$4^3=64, 5^3=125$，故81立方根不是3，该选项考察立方根定义，正确表述为 81 立方根是$\sqrt[3]{81}$，但选项说3，故错误；或理解为正确知识为$3^3=27, 4^3=64, 5^3=125$，81立方根不是整数，故A错；B选项中，$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$，故错误；C选项中，立方根等于平方根的数，0和1都满足的一部分情况但，0立方根和平方根都是0，1立方根是1，平方根是$\pm1$，故只有0满足完全相等，1不满足平方根有两个值，故错误；D选项中，4的算术平方根是2，正确，因为$2^2=4$，且算术平方根取非负值。
