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例 2 某函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)确定自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)分别求当 $ x $ 的值为 $ -4 $，$ -2 $，$ 4 $ 时，对应 $ y $ 的值是多少；
(3)分别求当 $ y $ 的值为 $ 0 $，$ 4 $ 时，$ x $ 的值是多少；
(4)当 $ x $ 取何值时，$ y $ 的值最大？当 $ x $ 取何值时，$ y $ 的值最小？
(5)当 $ x $ 的值在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 的值在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(1)确定自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)分别求当 $ x $ 的值为 $ -4 $，$ -2 $，$ 4 $ 时，对应 $ y $ 的值是多少；
(3)分别求当 $ y $ 的值为 $ 0 $，$ 4 $ 时，$ x $ 的值是多少；
(4)当 $ x $ 取何值时，$ y $ 的值最大？当 $ x $ 取何值时，$ y $ 的值最小？
(5)当 $ x $ 的值在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 的值在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
答案
(1)自变量 $x$ 的取值范围为 $-4 ≤ x ≤ 4$。
(2)当 $x = -4$ 时，$y = 2$；
当 $x = -2$ 时，$y = -2$；
当 $x = 4$ 时，$y = 0$。
(3)当 $y = 0$ 时，$x$ 的值为 $-3, -1, 4$；
当 $y = 4$ 时，$x$ 的值为 $1.5$。
(4)当 $x = 1.5$ 时，$y$ 的值最大；
当 $x = -2$ 时，$y$ 的值最小。
(5)当 $-2 ≤ x ≤ 1.5$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
当 $-4 ≤ x ≤ -2$ 或 $1.5 ≤ x ≤ 4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(2)当 $x = -4$ 时，$y = 2$；
当 $x = -2$ 时，$y = -2$；
当 $x = 4$ 时，$y = 0$。
(3)当 $y = 0$ 时，$x$ 的值为 $-3, -1, 4$；
当 $y = 4$ 时，$x$ 的值为 $1.5$。
(4)当 $x = 1.5$ 时，$y$ 的值最大；
当 $x = -2$ 时，$y$ 的值最小。
(5)当 $-2 ≤ x ≤ 1.5$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
当 $-4 ≤ x ≤ -2$ 或 $1.5 ≤ x ≤ 4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
变式训练 请按要求在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 $ y = 2x^2 - 2 $ 的图象。
(1)列表：
(2)描点、连线：
(3)观察函数 $ y = 2x^2 - 2 $ 的图象，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大还是 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x ＞ 0 $ 时呢？
(1)列表：
(2)描点、连线：
(3)观察函数 $ y = 2x^2 - 2 $ 的图象，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大还是 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x ＞ 0 $ 时呢？
答案
(1)
$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}x & \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\\hline y & \ldots & 6 & 0 & -2 & 0 & 6 & \ldots \\\end{array} $
(3) 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}x & \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\\hline y & \ldots & 6 & 0 & -2 & 0 & 6 & \ldots \\\end{array} $
(3) 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
解析
(1) 列表：
在$x$列中取一些值，计算对应的$y$值，填入表格中，有：
当$x = -2$时，$y = 2× (-2)^2 - 2 = 6$，
当$x = -1$时，$y = 2× (-1)^2 - 2 = 0$，
当$x = 0$时，$y = 2× 0^2 - 2 = -2$，
当$x = 1$时，$y = 2× 1^2 - 2 = 0$，
当$x = 2$时，$y = 2× 2^2 - 2 = 6$，
得到：
$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}x & \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\\hline y & \ldots & 6 & 0 & -2 & 0 & 6 & \ldots \\\end{array} $
(2) 描点、连线：
在平面直角坐标系中描出对应的点：$(-2, 6)$，$(-1, 0)$，$(0, -2)$，$(1, 0)$，$(2, 6)$，
用平滑的曲线连接这些点，形成函数$y = 2x^2 - 2$的图象。
(3) 观察函数$y = 2x^2 - 2$的图象：
当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在$x$列中取一些值，计算对应的$y$值，填入表格中，有：
当$x = -2$时，$y = 2× (-2)^2 - 2 = 6$，
当$x = -1$时，$y = 2× (-1)^2 - 2 = 0$，
当$x = 0$时，$y = 2× 0^2 - 2 = -2$，
当$x = 1$时，$y = 2× 1^2 - 2 = 0$，
当$x = 2$时，$y = 2× 2^2 - 2 = 6$，
得到：
$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}x & \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\\hline y & \ldots & 6 & 0 & -2 & 0 & 6 & \ldots \\\end{array} $
(2) 描点、连线：
在平面直角坐标系中描出对应的点：$(-2, 6)$，$(-1, 0)$，$(0, -2)$，$(1, 0)$，$(2, 6)$，
用平滑的曲线连接这些点，形成函数$y = 2x^2 - 2$的图象。
(3) 观察函数$y = 2x^2 - 2$的图象：
当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
1. 已知函数 $ y = 2x - 1 $，下列各点在该函数的图象上的是()
A.$ (1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (-1,0) $
D.$ (0,-1) $
A.$ (1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (-1,0) $
D.$ (0,-1) $
答案
D
解析
要判断一个点是否在函数图象上，只需验证该点的坐标是否满足函数方程。
对于选项A，当$x=1$时，$y=2×1-1=1≠0$，所以点$(1,0)$不在图象上；
对于选项B，当$x=0$时，$y=2×0-1=-1≠1$，所以点$(0,1)$不在图象上；
对于选项C，当$x=-1$时，$y=2×(-1)-1=-3≠0$，所以点$(-1,0)$不在图象上；
对于选项D，当$x=0$时，$y=2×0-1=-1$，所以点$(0,-1)$在图象上。
2. 下列图象中，不能表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A（题目已说明“不能表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的” 实际答案为C，机器解析答案（A位置为C）已更新为）：C
解析
函数的定义要求对于每一个自变量 $ x $ 的值，都有唯一的函数值 $ y $ 和它对应。因此在图象上，垂直于 $ x $ 轴的任何直线与图象最多只有一個交点。
选项 A, B, D 的图象都满足这个条件。
选项 C 的图象不满足这个条件，因为在某些 $ x $ 值下，会有两个对应的 $ y $ 值。
选项 A, B, D 的图象都满足这个条件。
选项 C 的图象不满足这个条件，因为在某些 $ x $ 值下，会有两个对应的 $ y $ 值。
