5. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $O$ 是对角线 $BD$ 的中点, 过点 $O$ 的直线 $EF$ 分别交 $AD$, $BC$ 于点 $E$, $F$, 连接 $BE$, $DF$.
(1) 求证: $△ DOE ≌ △ BOF$.
(2) 当 $∠ DOE$ 等于多少度时, 四边形 $BEDF$ 为菱形? 请说明理由.

(1) ∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO = DO，∠EDO = ∠FBO. 又∵∠EOD = ∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA) (2) 当∠DOE = 90°时，四边形BEDF为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF = DE. 又∵BF//DE. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∵BO = DO，∠EOD = 90°，∴EB = DE. ∴四边形BEDF为菱形

【解析】
(1)
∵在$□ ABCD$中，$O$为对角线$BD$的中点，
∴$BO = DO$，$AD// BC$，则$∠ EDO = ∠ FBO$。
又
∵$∠ EOD = ∠ FOB$，
∴根据ASA全等判定定理，可证$△ DOE≌△ BOF$。
(2) 当$∠ DOE = 90^{\circ}$时，四边形$BEDF$为菱形，理由如下：
由$△ DOE≌△ BOF$可得$BF = DE$，又
∵$DE// BF$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
∵$BO = DO$，$∠ DOE = 90^{\circ}$，即$EF⊥ BD$，
∴$EB = DE$，
∴一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形$BEDF$为菱形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 当$∠ DOE = 90^{\circ}$时，四边形$BEDF$为菱形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），菱形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、菱形的性质与判定，属于基础几何证明题，需熟练运用相关定理进行逻辑推导，逻辑推理难度适中。
【难度系数】
0.6

1. 下列说法中, 正确的是 ()

A.一组对边平行的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C

【解析】
逐一分析各选项：
A. 一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如梯形只有一组对边平行，故A错误；
B. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形只有一个直角，故B错误；
C. 根据菱形的定义，四条边相等的四边形是菱形，故C正确；
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而非正方形（正方形还需对角线相等且有一个角为直角），故D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，需准确区分各特殊四边形的判定条件，强化对基础几何概念的理解与辨析。
【难度系数】
0.8

2. 如图, 在等腰梯形 $ABCD$ 中, $AD // BC$, $CA$ 平分 $∠ BCD$, $∠ B = 60^{\circ}$, 若 $AD = 3$, 则梯形 $ABCD$ 的周长为 ()

A.$12\sqrt{3}$
B.$15\sqrt{3}$
C.12
D.15

2. D

【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是等腰梯形，$AD// BC$，$∠ B=60^{\circ}$，所以$∠ BCD=∠ B=60^{\circ}$，$AB=CD$，$∠ BAD=180^{\circ}-∠ B=120^{\circ}$。
2. 因为$CA$平分$∠ BCD$，所以$∠ ACB=∠ ACD=30^{\circ}$。
3. 由$AD// BC$，得$∠ DAC=∠ ACB=30^{\circ}$，故$∠ DAC=∠ ACD$，所以$AD=CD=3$，则$AB=CD=3$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ B=60^{\circ}$，$∠ ACB=30^{\circ}$，所以$∠ BAC=90^{\circ}$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$BC=2AB=6$。
5. 梯形$ABCD$的周长为$AB+BC+CD+AD=3+6+3+3=15$。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形性质，直角三角形性质，角平分线性质
【点评】
本题综合考查等腰梯形、角平分线及直角三角形的相关性质，解题关键是利用平行线与角平分线的性质推导出等腰三角形，进而求出各边长度计算周长。
【难度系数】
0.6

3. 如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 2, $P$ 是边 $AD$ 上的一点, 且 $PE ⊥ AC$, $PF ⊥ BD$, 垂足分别为 $E$, $F$, 则 $PE + PF =$ .

$\sqrt{2}$

【解析】
设正方形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。
∵四边形$ABCD$是边长为2的正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠ OAD=45°$，$AC=2\sqrt{2}$，$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
∵$PE⊥AC$，
∴$△ APE$是等腰直角三角形，$PE=AE$。
∵$PF⊥BD$，$AC⊥BD$，$PE⊥AC$，
∴四边形$PEOF$是矩形，$PF=EO$。
∴$PE+PF=AE+EO=AO=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题通过将线段和转化为正方形对角线的一半，综合运用正方形、等腰直角三角形及矩形的性质求解，考查了特殊图形性质的综合应用与线段转化思想。
【难度系数】
0.6

4. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, 延长 $BA$, $FE$, 交于点 $M$, 延长 $CD$, 与 $FM$ 交于点 $N$, 若 $∠ BMF + ∠ CNF = 90^{\circ}$, $AB = 5$, $CD = 12$, $E$, $F$ 分别是 $AD$, $BC$ 的中点, 则 $EF =$ .

$\frac{13}{2}$

【解析】
连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。
∵E是AD的中点，G是BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，且EG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同理，FG是△BCD的中位线，
∴FG//CD，且FG=$\frac{1}{2}$CD=6。
∵EG//AB，
∴∠BMF=∠GEF；
∵FG//CD，
∴∠CNF=∠GFE。
已知∠BMF+∠CNF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∴在△EGF中，∠EGF=180°-(∠GEF+∠GFE)=90°，即△EGF是直角三角形。
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{EG^2+FG^2}$=$\sqrt{(\frac{5}{2})^2+6^2}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+36}$=$\sqrt{\frac{169}{4}}$=$\frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题关键是通过构造辅助线，利用三角形中位线定理将线段和角的关系转化到直角三角形中，再结合勾股定理求解，考验辅助线构造能力与定理的综合应用。
【难度系数】
0.4

5. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $BD$ 垂直平分 $AC$, 垂足为 $F$, $E$ 为四边形 $ABCD$ 外的一点, 且 $∠ ADE = ∠ BAD$, $AE ⊥ AC$, 垂足为 $A$.
(1) 求证: 四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
(2) 如果 $DA$ 平分 $∠ BDE$, $AB = 5$, $AD = 6$, 求 $AC$ 的长.

(1) 略 (2) 9.6

【解析】
(1) 证明：
∵ $AE ⊥ AC$，$BD$ 垂直平分 $AC$，
∴ $AE // BD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
又
∵ $∠ADE = ∠BAD$，
∴ $AB // DE$（内错角相等，两直线平行）。
∴ 四边形 $ABDE$ 的两组对边分别平行，故四边形 $ABDE$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵ $DA$ 平分 $∠BDE$，
∴ $∠ADE = ∠ADB$。
∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，
∴ $AB // DE$，则 $∠ADE = ∠BAD$，
∴ $∠BAD = ∠ADB$，故 $AB = BD = 5$。
∵ $BD$ 垂直平分 $AC$，
∴ $AC = 2AF$，且 $AF ⊥ BD$。
在 $△ ABD$ 中，$AD = 6$，$BD = 5$，$AB = 5$，设 $DF = x$，则 $BF = 5 - x$。
由勾股定理得：$AD^2 - DF^2 = AB^2 - BF^2$，
即 $6^2 - x^2 = 5^2 - (5 - x)^2$，
解得 $x = 3.6$。
则 $AF = \sqrt{AD^2 - DF^2} = \sqrt{6^2 - 3.6^2} = 4.8$，
∴ $AC = 2 × 4.8 = 9.6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{9.6}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、角平分线性质及勾股定理的应用，第一问通过平行线的判定证明对边平行，第二问利用等角对等边得到线段长度，再结合勾股定理和垂直平分线的性质求解，需要熟练掌握几何图形的性质与定理，灵活运用相关知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6