2. 如图 8 - 20①, 在矩形 $ABCD$ 中, $AD ＞ AB$, $O$ 为对角线 $AC$, $BD$ 的交点, 过点 $O$ 作一直线分别交 $BC$, $AD$ 于点 $M$, $N$.

(1) 试用中心对称的性质说明梯形 $ABMN$ 的面积等于梯形 $CDNM$ 的面积.
(2) 若将矩形 $ABCD$ 沿 $MN$ 翻折后, 点 $C$ 恰好与点 $A$ 重合, 则 $MN$ 满足什么条件(只要求写出满足的条件,不要求说明理由)?
(3) 在(2)条件下,若翻折后不重叠部分($△ ABM$)的面积是重叠部分(阴影部分)面积的 $\frac{1}{2}$ (图8 - 20②). 请探究 $BM$ 与 $MC$ 之间的数量关系.

(1) 矩形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线交点O。直线MN过O，故点M与N、点B与D、点A与C分别关于O对称。因此梯形ABMN与梯形CDNM关于O中心对称，面积相等。
(2) MN垂直平分AC。
(3) MC=2BM。

【解析】
(1) 矩形$ABCD$是中心对称图形，对称中心为对角线交点$O$。直线$MN$过点$O$，故点$M$与$N$、点$B$与$D$、点$A$与$C$分别关于点$O$对称，因此梯形$ABMN$与梯形$CDNM$关于点$O$中心对称，根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形面积相等，所以梯形$ABMN$的面积等于梯形$CDNM$的面积。
(2) 由翻折后点$C$恰好与点$A$重合，可得$MN$垂直平分$AC$。
(3) 设$△ ABM$的面积为$S$，则重叠部分（阴影部分）的面积为$2S$。由翻折性质知$△ AMN≌△ CMN$，且$AN=MC$。因为$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB· BM$，$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}AN· AB=\frac{1}{2}MC· AB$，结合$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}S_{△ AMN}$，可得$\frac{1}{2}AB· BM=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB· MC$，化简得$MC=2BM$。
【答案】
(1) 梯形$ABMN$的面积等于梯形$CDNM$的面积；
(2) $MN$垂直平分$AC$；
(3) $MC=2BM$
【知识点】
中心对称的性质，矩形的性质，翻折变换性质
【点评】
本题综合考查中心对称、矩形及翻折变换的相关性质，需灵活运用图形对称性与面积关系解题，侧重几何性质的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.6

1. 绕图形外一点按逆时针方向旋转 $70^{\circ}$ 后所得的图形与原图形比较, 保持不变的是 ()

A.位置与大小
B.形状与大小
C.位置与形状
D.位置、形状及大小

B

【解析】
图形旋转的性质：图形绕某点旋转后，仅位置发生改变，形状与大小均保持不变。本题中图形绕外点逆时针旋转$70^{\circ}$，位置改变，形状和大小不变，因此保持不变的是形状与大小。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质
【点评】
本题考查旋转的基本性质，核心是明确旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，需准确区分旋转前后图形各要素的变化情况。
【难度系数】
0.9

2. 在 $□ ABCD$ 中, 下列说法正确的是 ()

A.$AC = BD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AB = CD$
D.$AB = BC$

C

【解析】
根据平行四边形的性质逐一分析选项：
1. 选项A：平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，仅矩形的对角线相等，故A错误；
2. 选项B：平行四边形的对角线不一定垂直，仅菱形的对角线互相垂直，故B错误；
3. 选项C：平行四边形的对边相等，AB与CD是平行四边形的一组对边，因此AB=CD，故C正确；
4. 选项D：平行四边形的邻边不一定相等，仅菱形的邻边相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，需明确一般平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形等）的性质差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

3. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形, 从 ① $AB = BC$, ② $∠ ABC = 90^{\circ}$, ③ $AC = BD$, ④ $AC ⊥ BD$ 四个条件中, 选两个作为补充条件使四边形 $ABCD$ 是正方形, 现有下列四种选法, 其中错误的是 ()

A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

B

【解析】
我们根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对每个选项逐一分析：
1. 选项A：
已知四边形ABCD是平行四边形，①AB=BC，可推出平行四边形ABCD是菱形；②∠ABC=90°，菱形有一个内角为90°时，该菱形是正方形，故A正确。
2. 选项B：
已知四边形ABCD是平行四边形，②∠ABC=90°，可推出平行四边形ABCD是矩形；③AC=BD是矩形的固有性质，无法进一步推出该矩形是正方形，故B错误。
3. 选项C：
已知四边形ABCD是平行四边形，①AB=BC，可推出平行四边形ABCD是菱形；③AC=BD，对角线相等的菱形是正方形，故C正确。
4. 选项D：
已知四边形ABCD是平行四边形，②∠ABC=90°，可推出平行四边形ABCD是矩形；④AC⊥BD，对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确。
综上，错误的选法是B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查正方形的判定，需熟练掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的转化关系，明确不同判定条件组合对应的图形特征，避免混淆矩形与正方形的判定条件。
【难度系数】
0.7

4. 如图, 将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 ($□ ABCD$), 并使其面积为矩形面积的一半(木条宽度忽略不计), 则这个平行四边形的最小内角为 $^{\circ}$.

30

【解析】
设矩形的长为$a$，宽为$b$，则矩形面积为$ab$。变形为平行四边形$□ABCD$后，底的长度仍为$a$，设其高为$h$。
由题意，平行四边形面积为矩形面积的一半，即$ah=\frac{1}{2}ab$，解得$h=\frac{1}{2}b$。
在平行四边形的一边（长度为$b$）与高$h$组成的直角三角形中，因为直角边$h=\frac{1}{2}b$（$b$为斜边），根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可知平行四边形的最小内角为$30^{\circ}$。
【答案】
30
【知识点】
平行四边形的面积、矩形的面积、直角三角形的性质
【点评】
本题通过矩形与平行四边形的面积关系，结合直角三角形的性质求解角度，考查了特殊图形面积公式的掌握及几何性质的综合应用，需灵活转化图形间的数量关系。
【难度系数】
0.6