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活动一：忆一忆 做一做
1. $7 + 7^{2}$能被 8 整除吗？$99 + 99^{2}$能被 100 整除吗？
2. 若 $a$ 是正整数，$a + a^{2}$能被 $a + 1$ 整除吗？
1. $7 + 7^{2}$能被 8 整除吗？$99 + 99^{2}$能被 100 整除吗？
2. 若 $a$ 是正整数，$a + a^{2}$能被 $a + 1$ 整除吗？
答案
1. 能 能 2. 能
解析
【解析】
1. 计算$7 + 7^{2}=7+49=56$，$56÷8=7$，故$7 + 7^{2}$能被8整除；
$99 + 99^{2}=99×(1+99)=99×100$，显然$99×100$能被100整除，故$99 + 99^{2}$能被100整除。
2. 对$a + a^{2}$因式分解得：$a + a^{2}=a(1+a)=a(a+1)$，因为$a$是正整数，所以$a(a+1)$是$a+1$的$a$倍，因此$a + a^{2}$能被$a + 1$整除。
【答案】
1. 能 能 2. 能
【知识点】
因式分解的应用，整除的概念
【点评】
本题从具体数字实例过渡到一般代数式，考查整除概念与因式分解的应用，引导学生体会从特殊到一般的数学思想，提升数与式的整除判断能力。
【难度系数】
0.7
1. 计算$7 + 7^{2}=7+49=56$，$56÷8=7$，故$7 + 7^{2}$能被8整除；
$99 + 99^{2}=99×(1+99)=99×100$，显然$99×100$能被100整除，故$99 + 99^{2}$能被100整除。
2. 对$a + a^{2}$因式分解得：$a + a^{2}=a(1+a)=a(a+1)$，因为$a$是正整数，所以$a(a+1)$是$a+1$的$a$倍，因此$a + a^{2}$能被$a + 1$整除。
【答案】
1. 能 能 2. 能
【知识点】
因式分解的应用，整除的概念
【点评】
本题从具体数字实例过渡到一般代数式，考查整除概念与因式分解的应用，引导学生体会从特殊到一般的数学思想，提升数与式的整除判断能力。
【难度系数】
0.7
活动二：读一读 说一说
1. 阅读课本第 104 页，将多项式 $ma + mb$，$x^{2} + 3x + 2$ 化成几个整式的积的形式.
2. 什么叫作因式分解？
1. 阅读课本第 104 页，将多项式 $ma + mb$，$x^{2} + 3x + 2$ 化成几个整式的积的形式.
2. 什么叫作因式分解？
答案
1. $ m(a + b) $ $ (x + 1)(x + 2) $ 2. 略
解析
【解析】
1. 对于多项式$ma + mb$，提取公因式$m$，可化为$m(a + b)$；对于多项式$x^{2} + 3x + 2$，利用十字相乘法，将常数项2分解为1×2，且1+2=3（等于一次项系数），可化为$(x + 1)(x + 2)$。
2. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
【答案】
1. $m(a + b)$，$(x + 1)(x + 2)$
2. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也称为分解因式）。
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础方法与核心概念，通过具体多项式的分解操作，帮助理解因式分解的本质，是因式分解的入门题型。
【难度系数】
0.9
1. 对于多项式$ma + mb$，提取公因式$m$，可化为$m(a + b)$；对于多项式$x^{2} + 3x + 2$，利用十字相乘法，将常数项2分解为1×2，且1+2=3（等于一次项系数），可化为$(x + 1)(x + 2)$。
2. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
【答案】
1. $m(a + b)$，$(x + 1)(x + 2)$
2. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也称为分解因式）。
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础方法与核心概念，通过具体多项式的分解操作，帮助理解因式分解的本质，是因式分解的入门题型。
【难度系数】
0.9
1. 下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解？
(1) $m(a + 2b) = ma + 2mb$；
(2) $15xy + 25xy^{2} = 5xy(3 + 5y)$；
(3) $(y + 3)(y - 3) = y^{2} - 9$；
(4) $a^{2} + 4b^{2} + 4ab = (a + 2b)^{2}$.
(1) $m(a + 2b) = ma + 2mb$；
(2) $15xy + 25xy^{2} = 5xy(3 + 5y)$；
(3) $(y + 3)(y - 3) = y^{2} - 9$；
(4) $a^{2} + 4b^{2} + 4ab = (a + 2b)^{2}$.
答案
1. (1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解
解析
【解析】
整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个多项式的变形；因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形。
(1)是单项式乘多项式，将整式乘积化为多项式，属于整式乘法；
(2)将多项式转化为两个整式的乘积，属于因式分解；
(3)是多项式乘多项式，将整式乘积化为多项式，属于整式乘法；
(4)将多项式转化为整式的平方（乘积形式），属于因式分解。
综上，(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解。
【答案】
(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解
【知识点】
整式乘法定义，因式分解定义
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的概念辨析，核心是把握两者变形方向的不同，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，通过具体式子判断可巩固对概念的理解。
【难度系数】
0.8
整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个多项式的变形；因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形。
(1)是单项式乘多项式，将整式乘积化为多项式，属于整式乘法；
(2)将多项式转化为两个整式的乘积，属于因式分解；
(3)是多项式乘多项式，将整式乘积化为多项式，属于整式乘法；
(4)将多项式转化为整式的平方（乘积形式），属于因式分解。
综上，(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解。
【答案】
(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解
【知识点】
整式乘法定义，因式分解定义
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的概念辨析，核心是把握两者变形方向的不同，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，通过具体式子判断可巩固对概念的理解。
【难度系数】
0.8
2. 观察课本第 105 页“活动”的图形的剪拼过程，写出相应的等式：
$ (x + 1)(x + 3) $
.答案
2. $ (x + 1)(x + 3) $
解析
1
3. 谈谈因式分解与整式乘法有什么联系，请举例说明.
答案
3. 互逆，举例略
解析
【解析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系。整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个多项式，因式分解则是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式，二者运算过程相反。例如：整式乘法运算：(a+b)(a-b)=a²-b²；对应的因式分解运算：a²-b²=(a+b)(a-b)。
【答案】
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系。举例：整式乘法(a+b)(a-b)=a²-b²，因式分解a²-b²=(a+b)(a-b)（举例合理即可）。
【知识点】
因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的核心联系，理解二者互逆的运算本质是关键，通过举例可更直观地体会这种关系，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系。整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个多项式，因式分解则是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式，二者运算过程相反。例如：整式乘法运算：(a+b)(a-b)=a²-b²；对应的因式分解运算：a²-b²=(a+b)(a-b)。
【答案】
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系。举例：整式乘法(a+b)(a-b)=a²-b²，因式分解a²-b²=(a+b)(a-b)（举例合理即可）。
【知识点】
因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的核心联系，理解二者互逆的运算本质是关键，通过举例可更直观地体会这种关系，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
4. 写出两个整式 $A$ 与 $B$，使得 $A = B(a + 3)$.
答案
解：情况一：取$B = a$，则$A = a(a + 3) = a^2 + 3a$；
情况二：取$B = 2$，则$A = 2(a + 3) = 2a + 6$。
（答案不唯一，合理即可）
情况二：取$B = 2$，则$A = 2(a + 3) = 2a + 6$。
（答案不唯一，合理即可）
解析
【解析】
情况一：取整式$B = a$，根据$A = B(a + 3)$，由整式乘法运算可得$A = a(a + 3) = a^2 + 3a$；
情况二：取整式$B = 2$，同理可得$A = 2(a + 3) = 2a + 6$。
（答案不唯一，选取合理的整式$B$，通过整式乘法得到对应$A$即可）
【答案】
示例：$A = a^2 + 3a$，$B = a$；或$A = 2a + 6$，$B = 2$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
整式的乘法，代数式构造
【点评】
本题为开放性题目，答案不唯一，核心是利用整式乘法的关系构造满足$A = B(a + 3)$的整式，考查对整式乘法的基本应用与代数式的灵活构造能力。
【难度系数】
0.8
情况一：取整式$B = a$，根据$A = B(a + 3)$，由整式乘法运算可得$A = a(a + 3) = a^2 + 3a$；
情况二：取整式$B = 2$，同理可得$A = 2(a + 3) = 2a + 6$。
（答案不唯一，选取合理的整式$B$，通过整式乘法得到对应$A$即可）
【答案】
示例：$A = a^2 + 3a$，$B = a$；或$A = 2a + 6$，$B = 2$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
整式的乘法，代数式构造
【点评】
本题为开放性题目，答案不唯一，核心是利用整式乘法的关系构造满足$A = B(a + 3)$的整式，考查对整式乘法的基本应用与代数式的灵活构造能力。
【难度系数】
0.8
