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1. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有(
① $x(a - b) = ax - bx$
② $(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$
③ $x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
④ $(a + b)(a - b) + (b - a) = (a - b)(a + b - 1)$
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)① $x(a - b) = ax - bx$
② $(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$
③ $x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
④ $(a + b)(a - b) + (b - a) = (a - b)(a + b - 1)$
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
1. B
解析
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
①$x(a - b) = ax - bx$是整式的乘法运算，不属于因式分解；
②$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$是整式的乘法运算，不属于因式分解；
③$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解；
④$(a + b)(a - b) + (b - a)=(a + b)(a - b)-(a - b)=(a - b)(a + b - 1)$，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解。
综上，属于因式分解的有2个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题核心考查因式分解与整式乘法的区别，需明确因式分解是从多项式到整式积的变形，整式乘法是其逆运算，准确把握定义是解题关键。
【难度系数】
0.6
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
①$x(a - b) = ax - bx$是整式的乘法运算，不属于因式分解；
②$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$是整式的乘法运算，不属于因式分解；
③$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解；
④$(a + b)(a - b) + (b - a)=(a + b)(a - b)-(a - b)=(a - b)(a + b - 1)$，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解。
综上，属于因式分解的有2个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题核心考查因式分解与整式乘法的区别，需明确因式分解是从多项式到整式积的变形，整式乘法是其逆运算，准确把握定义是解题关键。
【难度系数】
0.6
2. 如果二次三项式 $5x^{2} - 8x + k$ 分解因式后有一个因式是 $x - 1$，那么 $k$ 的值是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2. B
解析
【解析】
根据因式定理，若二次三项式$5x^2 - 8x + k$有一个因式是$x - 1$，则当$x=1$时，$5x^2 - 8x + k = 0$。
将$x=1$代入得：
$5×1^2 - 8×1 + k = 0$
计算得：$5 - 8 + k = 0$，即$-3 + k = 0$，解得$k=3$。
【答案】
B
【知识点】
因式定理、代数式求值
【点评】
本题考查因式定理的应用，通过代入使因式为0的x值建立关于参数k的方程求解，思路简洁，需熟练掌握因式定理的核心内容。
【难度系数】
0.8
根据因式定理，若二次三项式$5x^2 - 8x + k$有一个因式是$x - 1$，则当$x=1$时，$5x^2 - 8x + k = 0$。
将$x=1$代入得：
$5×1^2 - 8×1 + k = 0$
计算得：$5 - 8 + k = 0$，即$-3 + k = 0$，解得$k=3$。
【答案】
B
【知识点】
因式定理、代数式求值
【点评】
本题考查因式定理的应用，通过代入使因式为0的x值建立关于参数k的方程求解，思路简洁，需熟练掌握因式定理的核心内容。
【难度系数】
0.8
3. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是(
A.$m(a + b) = ma + mb$
B.$x^{2} + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
C.$x^{2} + xy = x(x + y) - 3$
D.$x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$
D
)A.$m(a + b) = ma + mb$
B.$x^{2} + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
C.$x^{2} + xy = x(x + y) - 3$
D.$x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$
答案
3. D
解析
【解析】
因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此分析各选项：
A选项是整式乘法运算，将整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
B选项右边的$\frac{1}{x}$不是整式，不符合因式分解的要求；
C选项右边不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义；
D选项将多项式$x^{2}+2xy+y^{2}$转化为整式$(x+y)$与自身的积的形式，符合因式分解的定义，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题关键是准确把握因式分解的核心：将多项式化为几个整式的积的形式，需注意区分整式乘法与因式分解，同时排除右边含非整式或非积形式的选项。
【难度系数】
0.8
因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此分析各选项：
A选项是整式乘法运算，将整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
B选项右边的$\frac{1}{x}$不是整式，不符合因式分解的要求；
C选项右边不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义；
D选项将多项式$x^{2}+2xy+y^{2}$转化为整式$(x+y)$与自身的积的形式，符合因式分解的定义，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题关键是准确把握因式分解的核心：将多项式化为几个整式的积的形式，需注意区分整式乘法与因式分解，同时排除右边含非整式或非积形式的选项。
【难度系数】
0.8
4. 下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染.
$2x^{2} + 3x - 6 + $
$= (x - 2)(2x + 5)$.
(1) 求被墨水污染的一次式；
(2) 若被墨水污染的一次式的值不小于 2，求 $x$ 的取值范围.
$2x^{2} + 3x - 6 + $
$= (x - 2)(2x + 5)$.(1) 求被墨水污染的一次式；
(2) 若被墨水污染的一次式的值不小于 2，求 $x$ 的取值范围.
答案
4. (1) $ -2x - 4 $ (2) $ x ≤ -3 $
解析
【解析】
(1) 先展开等式右边的多项式：
$(x - 2)(2x + 5) = 2x^2 + 5x - 4x - 10 = 2x^2 + x - 10$
用右边的多项式减去左边已知的部分，计算被墨水污染的一次式：
$(2x^2 + x - 10) - (2x^2 + 3x - 6) = 2x^2 + x - 10 - 2x^2 - 3x + 6 = -2x - 4$
(2) 根据题意列不等式：
$-2x - 4 ≥ 2$
移项得：$-2x ≥ 2 + 4$
合并同类项得：$-2x ≥ 6$
系数化为1得：$x ≤ -3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x - 4}$；(2) $\boldsymbol{x ≤ -3}$
【知识点】
多项式乘法运算、解一元一次不等式、因式分解逆应用
【点评】
本题结合因式分解考查多项式运算与一元一次不等式的求解，需熟练掌握多项式加减运算法则，解不等式时注意系数化为1时不等号的方向变化。
【难度系数】
0.6
(1) 先展开等式右边的多项式：
$(x - 2)(2x + 5) = 2x^2 + 5x - 4x - 10 = 2x^2 + x - 10$
用右边的多项式减去左边已知的部分，计算被墨水污染的一次式：
$(2x^2 + x - 10) - (2x^2 + 3x - 6) = 2x^2 + x - 10 - 2x^2 - 3x + 6 = -2x - 4$
(2) 根据题意列不等式：
$-2x - 4 ≥ 2$
移项得：$-2x ≥ 2 + 4$
合并同类项得：$-2x ≥ 6$
系数化为1得：$x ≤ -3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x - 4}$；(2) $\boldsymbol{x ≤ -3}$
【知识点】
多项式乘法运算、解一元一次不等式、因式分解逆应用
【点评】
本题结合因式分解考查多项式运算与一元一次不等式的求解，需熟练掌握多项式加减运算法则，解不等式时注意系数化为1时不等号的方向变化。
【难度系数】
0.6
1. 若二次三项式 $2x^{2} + mx + 24$ 可以分解为两个一次因式的积，则整数 $m$ 的值可以是
$ \pm 16 $，答案不唯一
.(写出一个答案即可)答案
1. $ \pm 16 $，答案不唯一
解析
【解析】
利用十字相乘法分解二次三项式：对于$2x^2+mx+24$，将二次项系数2分解为$2×1$，常数项24可分解为$4×6$，此时$2x×6 + x×4=16x$，则$m=16$；若将24分解为$(-4)×(-6)$，则$2x×(-6)+x×(-4)=-16x$，此时$m=-16$。此外24还有其他因数组合，故整数$m$的值可以是$\pm16$等（写出一个即可）。
【答案】
$16$（或$-16$，答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法分解因式
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，重点掌握十字相乘法的应用，需考虑常数项因数的正负情况，答案具有多样性。
【难度系数】
0.8
利用十字相乘法分解二次三项式：对于$2x^2+mx+24$，将二次项系数2分解为$2×1$，常数项24可分解为$4×6$，此时$2x×6 + x×4=16x$，则$m=16$；若将24分解为$(-4)×(-6)$，则$2x×(-6)+x×(-4)=-16x$，此时$m=-16$。此外24还有其他因数组合，故整数$m$的值可以是$\pm16$等（写出一个即可）。
【答案】
$16$（或$-16$，答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法分解因式
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，重点掌握十字相乘法的应用，需考虑常数项因数的正负情况，答案具有多样性。
【难度系数】
0.8
2. 通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解. 如图所示的大矩形是由边长为 $a$，$b$ 的矩形、边长为 $a$ 的正方形、边长为 $b$ 的正方形拼成的. 根据图形分解因式 $3a^{2} + 4ab + b^{2}$.
答案
2. 由图形得 $ 3a^{2} + 4ab + b^{2} = (a + b)(3a + b) $
解析
【解析】
由图形可知，大矩形的面积可表示为各部分面积之和：$3a^2 + 4ab + b^2$；同时大矩形的长为$3a + b$，宽为$a + b$，面积也可表示为$(a + b)(3a + b)$。根据面积相等，得$3a^2 + 4ab + b^2=(a + b)(3a + b)$。
【答案】
$(a + b)(3a + b)$
【知识点】
因式分解、数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形面积的两种表达形式，将整式因式分解与几何直观结合，考查利用数形结合思想进行因式分解的能力，帮助理解因式分解的本质。
【难度系数】
0.7
由图形可知，大矩形的面积可表示为各部分面积之和：$3a^2 + 4ab + b^2$；同时大矩形的长为$3a + b$，宽为$a + b$，面积也可表示为$(a + b)(3a + b)$。根据面积相等，得$3a^2 + 4ab + b^2=(a + b)(3a + b)$。
【答案】
$(a + b)(3a + b)$
【知识点】
因式分解、数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形面积的两种表达形式，将整式因式分解与几何直观结合，考查利用数形结合思想进行因式分解的能力，帮助理解因式分解的本质。
【难度系数】
0.7
