6. 如果$\begin{cases}x + 2y - 8z = 0,\\2x - 3y + 5z = 0,\end{cases}$其中$xyz ≠ 0$，那么$x:y:z =$( )

A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$2:3:1$
D.$3:2:1$

6. C

【解析】
将原方程组整理为：
$\begin{cases}x + 2y = 8z&(1)\\2x - 3y = -5z&(2)\end{cases}$
$(1)×2 - (2)$得：$7y=21z$，解得$y=3z$。
把$y=3z$代入$(1)$得：$x + 6z=8z$，解得$x=2z$。
因为$xyz≠0$，所以$z≠0$，则$x:y:z=2z:3z:z=2:3:1$。
【答案】
C
【知识点】
消元法解方程组，比例化简
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解及比例计算，通过将z视为参数，利用消元法求出x、y与z的关系，进而得到比值，需熟练掌握消元法的应用，注意xyz≠0的条件确保比值有意义。
【难度系数】
0.7

7. 若三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\x + z = - 1,\\y + z = - 2\end{cases}$的解满足$ax + 2y - z = 0$，则$a$的值是 ______ .

7. 解：$\begin{cases}x+y=5①,\\x+z=-1②,\\y+z=-2③.\end{cases}$
①+②+③，得 $x+y+z=1$④.
把①代入④，得 $z=-4$.
把②代入④，得 $y=2$.
把③代入④，得 $x=3$.
把 $x=3$，$y=2$，$z=-4$ 代入方程 $ax+2y-z=0$，
得 $3a+4+4=0$，解得 $a=-\dfrac{8}{3}$.

【解析】
$\begin{cases}x+y=5①,\\x+z=-1②,\\y+z=-2③.\end{cases}$
①+②+③，得 $x+y+z=1$④.
把①代入④，得 $z=-4$.
把②代入④，得 $y=2$.
把③代入④，得 $x=3$.
把 $x=3$，$y=2$，$z=-4$ 代入方程 $ax+2y-z=0$，
得 $3a+4+4=0$，解得 $a=-\dfrac{8}{3}$.
【答案】
$-\dfrac{8}{3}$
【知识点】
三元一次方程组解法，代数式求值
【点评】
本题先利用加减消元法解三元一次方程组求出x、y、z的值，再代入含参数的方程求解参数a，考查了三元一次方程组的求解能力及代数式代入求值的运算能力。
【难度系数】
0.6

8. 阅读理解，并解决问题：
给定方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1,\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2,\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 5.\end{cases}$如果令$\frac{1}{x} = A$，$\frac{1}{y} = B$，$\frac{1}{z} = C$，则原方程组变为$\begin{cases}A + B = 1①,\\B + C = 2②,\\A + C = 5③.\end{cases}$
①$+$②$+$③，得$2A + 2B + 2C = 8$，即$A + B + C = 4$④. ④$-$①，得$C = 3$. ④$-$②，得$A = 2$. ④$-$③，得$B = - 1$. 即$\frac{1}{x} = 2$，$\frac{1}{y} = - 1$，$\frac{1}{z} = 3$，所以原方程组的解为$x = \frac{1}{2}$，$y = - 1$，$z = \frac{1}{3}$.

解决问题：解方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 2,\frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{x} = 4,\frac{1}{x} + \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = 6.\end{cases}$

8. 解：设 $\dfrac{1}{x}=A$，$\dfrac{1}{y}=B$，$\dfrac{1}{z}=C$，
则原方程组变为 $\begin{cases}A+B-C=2①,\\B+C-A=4②,\\A+C-B=6③.\end{cases}$
①+②+③，得 $A+B+C=12$④.
④-①，得 $2C=10$，所以 $C=5$. ④-②，得 $2A=8$，所以 $A=4$. ④-③，得 $2B=6$，所以 $B=3$. 即 $\dfrac{1}{x}=4$，$\dfrac{1}{y}=3$，$\dfrac{1}{z}=5$，
所以 $x=\dfrac{1}{4}$，$y=\dfrac{1}{3}$，$z=\dfrac{1}{5}$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{1}{4},\\y=\dfrac{1}{3},\\z=\dfrac{1}{5}.\end{cases}$

【解析】
设 $\dfrac{1}{x}=A$，$\dfrac{1}{y}=B$，$\dfrac{1}{z}=C$，
则原方程组变为 $\begin{cases}A+B-C=2①,\\B+C-A=4②,\\A+C-B=6③.\end{cases}$
①+②+③，得 $A+B+C=12$④.
④-①，得 $2C=10$，所以 $C=5$；
④-②，得 $2A=8$，所以 $A=4$；
④-③，得 $2B=6$，所以 $B=3$。
即 $\dfrac{1}{x}=4$，$\dfrac{1}{y}=3$，$\dfrac{1}{z}=5$，
所以 $x=\dfrac{1}{4}$，$y=\dfrac{1}{3}$，$z=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{1}{4},\\y=\dfrac{1}{3},\\z=\dfrac{1}{5}\end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组、三元一次方程组解法
【点评】
通过换元法将分式方程组转化为三元一次方程组，简化了解题过程，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6