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1. 已知三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 4,\\x + z = 5,\end{cases}$则$x + y + z =$ ______ .
答案
1. 6
解析
【解析】
将方程组中的三个方程左右两边分别相加：
$(x + y) + (y + z) + (x + z) = 3 + 4 + 5$
化简得：$2(x + y + z) = 12$
两边同时除以2，得：$x + y + z = 6$。
【答案】
6
【知识点】
三元一次方程组求解、整体思想
【点评】
本题考查利用整体思想求解三元一次方程组相关代数式的值，无需分别求出x、y、z的具体值，通过整体相加可快速得到结果，简化计算过程，培养整体思维能力。
【难度系数】
0.9
将方程组中的三个方程左右两边分别相加：
$(x + y) + (y + z) + (x + z) = 3 + 4 + 5$
化简得：$2(x + y + z) = 12$
两边同时除以2，得：$x + y + z = 6$。
【答案】
6
【知识点】
三元一次方程组求解、整体思想
【点评】
本题考查利用整体思想求解三元一次方程组相关代数式的值，无需分别求出x、y、z的具体值，通过整体相加可快速得到结果，简化计算过程，培养整体思维能力。
【难度系数】
0.9
2. 若$|x - y - 3z| + (y - 1)^2 + |2x - y| = 0$，则$x =$
$\dfrac{1}{2}$
，$y =$1
，$z =$$-\dfrac{1}{6}$
.答案
2. $\dfrac{1}{2}$ 1 $-\dfrac{1}{6}$
解析
【解析】
根据绝对值和平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 3z = 0 \\y - 1 = 0 \\2x - y = 0\end{cases}$
1. 由$y - 1 = 0$，解得$y = 1$；
2. 将$y = 1$代入$2x - y = 0$，得$2x - 1 = 0$，解得$x = \dfrac{1}{2}$；
3. 将$x = \dfrac{1}{2}$，$y = 1$代入$x - y - 3z = 0$，得$\dfrac{1}{2} - 1 - 3z = 0$，解得$z = -\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$；1；$-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
非负数的性质；三元一次方程组求解
【点评】
本题主要考查非负数的性质与三元一次方程组的解法，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”构建方程组是解题核心，需熟练掌握绝对值、平方的非负性及方程组的求解步骤。
【难度系数】
0.6
根据绝对值和平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 3z = 0 \\y - 1 = 0 \\2x - y = 0\end{cases}$
1. 由$y - 1 = 0$，解得$y = 1$；
2. 将$y = 1$代入$2x - y = 0$，得$2x - 1 = 0$，解得$x = \dfrac{1}{2}$；
3. 将$x = \dfrac{1}{2}$，$y = 1$代入$x - y - 3z = 0$，得$\dfrac{1}{2} - 1 - 3z = 0$，解得$z = -\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$；1；$-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
非负数的性质；三元一次方程组求解
【点评】
本题主要考查非负数的性质与三元一次方程组的解法，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”构建方程组是解题核心，需熟练掌握绝对值、平方的非负性及方程组的求解步骤。
【难度系数】
0.6
3. 运用加减法解方程组$\begin{cases}11x + 3z = 9,\\3x + 2y + z = 8,\\2x - 6y + 4z = 5,\end{cases}$较简单的方法是( )
A.先消去$x$，再解$\begin{cases}22y + 2z = 61,\\66y - 38z = - 37\end{cases}$
B.先消去$z$，再解$\begin{cases}2x - 6y = - 15,\\38x + 18y = 21\end{cases}$
C.先消去$y$，再解$\begin{cases}11x + 7z = 29,\\11x + 3z = 9\end{cases}$
D.三个方程相加，得$8x - 2y + 4z = 11$，再解
A.先消去$x$，再解$\begin{cases}22y + 2z = 61,\\66y - 38z = - 37\end{cases}$
B.先消去$z$，再解$\begin{cases}2x - 6y = - 15,\\38x + 18y = 21\end{cases}$
C.先消去$y$，再解$\begin{cases}11x + 7z = 29,\\11x + 3z = 9\end{cases}$
D.三个方程相加，得$8x - 2y + 4z = 11$，再解
答案
3. C
解析
【解析】
观察方程组可知，第二个方程中$y$的系数为2，第三个方程中$y$的系数为-6，二者是倍数关系，先消去$y$较为简便。具体操作：将第二个方程$×3$得$9x + 6y + 3z = 24$，与第三个方程$2x - 6y + 4z = 5$相加，消去$y$得到$11x + 7z = 29$，再结合第一个方程$11x + 3z = 9$组成二元一次方程组，此方法计算量最小，是较简单的方法。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的加减消元法
【点评】
解三元一次方程组时，优先选择系数成倍数关系或绝对值较小的未知数进行消元，可简化计算过程。本题中$y$的系数存在倍数关系，先消去$y$是最优选择。
【难度系数】
0.7
观察方程组可知，第二个方程中$y$的系数为2，第三个方程中$y$的系数为-6，二者是倍数关系，先消去$y$较为简便。具体操作：将第二个方程$×3$得$9x + 6y + 3z = 24$，与第三个方程$2x - 6y + 4z = 5$相加，消去$y$得到$11x + 7z = 29$，再结合第一个方程$11x + 3z = 9$组成二元一次方程组，此方法计算量最小，是较简单的方法。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的加减消元法
【点评】
解三元一次方程组时，优先选择系数成倍数关系或绝对值较小的未知数进行消元，可简化计算过程。本题中$y$的系数存在倍数关系，先消去$y$是最优选择。
【难度系数】
0.7
4. 解方程组$\begin{cases}4x + 3y + 2z = 7,\\6x - 4y - z = 6,\\2x - y + z = 1.\end{cases}$
答案
4. $\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=1,\\z=-1.\end{cases}$
解析
【解析】
$\begin{cases}4x + 3y + 2z = 7, &(1)\\6x - 4y - z = 6, &(2)\\2x - y + z = 1. &(3)\end{cases}$
1. 消去$z$：
$(2)+(3)$得：$8x - 5y = 7$，记为$(4)$；
$(2)×2+(1)$得：$16x - 5y = 19$，记为$(5)$；
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}8x - 5y = 7\\16x - 5y = 19\end{cases}$：
$(5)-(4)$得：$8x = 12$，解得$x=\dfrac{3}{2}$；
将$x=\dfrac{3}{2}$代入$(4)$，得$8×\dfrac{3}{2}-5y=7$，解得$y=1$；
3. 求$z$：
将$x=\dfrac{3}{2}$，$y=1$代入$(3)$，得$2×\dfrac{3}{2}-1+z=1$，解得$z=-1$。
综上，方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=1,\\z=-1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=1,\\z=-1.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，核心是利用加减消元法逐步消去未知数，将三元问题转化为二元、一元问题求解，消元时合理选择消去的未知数可简化计算。
【难度系数】
0.6
$\begin{cases}4x + 3y + 2z = 7, &(1)\\6x - 4y - z = 6, &(2)\\2x - y + z = 1. &(3)\end{cases}$
1. 消去$z$：
$(2)+(3)$得：$8x - 5y = 7$，记为$(4)$；
$(2)×2+(1)$得：$16x - 5y = 19$，记为$(5)$；
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}8x - 5y = 7\\16x - 5y = 19\end{cases}$：
$(5)-(4)$得：$8x = 12$，解得$x=\dfrac{3}{2}$；
将$x=\dfrac{3}{2}$代入$(4)$，得$8×\dfrac{3}{2}-5y=7$，解得$y=1$；
3. 求$z$：
将$x=\dfrac{3}{2}$，$y=1$代入$(3)$，得$2×\dfrac{3}{2}-1+z=1$，解得$z=-1$。
综上，方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=1,\\z=-1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=1,\\z=-1.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，核心是利用加减消元法逐步消去未知数，将三元问题转化为二元、一元问题求解，消元时合理选择消去的未知数可简化计算。
【难度系数】
0.6
5. 已知$\begin{cases}3x + 2y = k,\\x - y = 4k + 3.\end{cases}$如果$x$与$y$互为相反数，那么( )
A.$k = 0$
B.$k = - \frac{3}{4}$
C.$k = - \frac{3}{2}$
D.$k = \frac{3}{4}$
A.$k = 0$
B.$k = - \frac{3}{4}$
C.$k = - \frac{3}{2}$
D.$k = \frac{3}{4}$
答案
5. C
解析
【解析】
因为$x$与$y$互为相反数，所以$y = -x$。
将$y = -x$代入方程组$\begin{cases}3x + 2y = k\\x - y = 4k + 3\end{cases}$：
1. 代入第一个方程：$3x + 2(-x) = k$，化简得$x = k$；
2. 代入第二个方程：$x - (-x) = 4k + 3$，化简得$2x = 4k + 3$。
将$x = k$代入$2x = 4k + 3$，得$2k = 4k + 3$，
移项合并同类项得$-2k = 3$，解得$k = -\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的代入消元法，相反数的概念
【点评】
本题考查相反数性质与二元一次方程组的综合应用，解题关键是利用相反数定义将$y$用$x$表示，代入方程组转化为关于$k$的一元一次方程求解，逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
因为$x$与$y$互为相反数，所以$y = -x$。
将$y = -x$代入方程组$\begin{cases}3x + 2y = k\\x - y = 4k + 3\end{cases}$：
1. 代入第一个方程：$3x + 2(-x) = k$，化简得$x = k$；
2. 代入第二个方程：$x - (-x) = 4k + 3$，化简得$2x = 4k + 3$。
将$x = k$代入$2x = 4k + 3$，得$2k = 4k + 3$，
移项合并同类项得$-2k = 3$，解得$k = -\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的代入消元法，相反数的概念
【点评】
本题考查相反数性质与二元一次方程组的综合应用，解题关键是利用相反数定义将$y$用$x$表示，代入方程组转化为关于$k$的一元一次方程求解，逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
