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1. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}3x + y = 1 + 3a \\ x + 3y = 1 - a\end{cases}$ 的解也满足 $x + y = 0$，则 $a$ 的值为 ______ 。
答案
1. $-1$
解析
【解析】
将方程组中的两个方程相加：
$(3x + y) + (x + 3y) = (1 + 3a) + (1 - a)$
化简得：$4x + 4y = 2 + 2a$
两边同时除以4，得：$x + y = \frac{1 + a}{2}$
因为方程组的解满足$x + y = 0$，所以$\frac{1 + a}{2} = 0$
解得：$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入求值
【点评】
本题考查整体思想在解二元一次方程组中的应用，无需分别求解$x$、$y$，通过将方程组两式相加得到$x+y$的表达式，结合已知条件建立关于$a$的方程即可求解，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.7
将方程组中的两个方程相加：
$(3x + y) + (x + 3y) = (1 + 3a) + (1 - a)$
化简得：$4x + 4y = 2 + 2a$
两边同时除以4，得：$x + y = \frac{1 + a}{2}$
因为方程组的解满足$x + y = 0$，所以$\frac{1 + a}{2} = 0$
解得：$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入求值
【点评】
本题考查整体思想在解二元一次方程组中的应用，无需分别求解$x$、$y$，通过将方程组两式相加得到$x+y$的表达式，结合已知条件建立关于$a$的方程即可求解，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于 $x$，$y$ 的两个方程组 $\begin{cases}2x + y = - 2① \\ ax + by = - 4②\end{cases}$ 与 $\begin{cases}3x - y = 12③ \\ bx + ay = - 8④\end{cases}$ 的解相同，求 $(a + b)^2$ 的值。
答案
2. $9$
解析：将前一个方程组的①式和后一个方程组的③式联立，解出来$x = 2$，$y = -6$，然后再代入，解得$a + b = 3$，所以$(a + b)^2 = 9$。
解析：将前一个方程组的①式和后一个方程组的③式联立，解出来$x = 2$，$y = -6$，然后再代入，解得$a + b = 3$，所以$(a + b)^2 = 9$。
解析
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以联立方程①和③：
$\begin{cases}2x + y = -2① \\ 3x - y = 12③\end{cases}$
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$，
将$x=2$代入①得：$2×2 + y = -2$，解得$y=-6$。
把$\begin{cases}x=2 \\ y=-6\end{cases}$代入②和④，得：
$\begin{cases}2a - 6b = -4 \\ 2b - 6a = -8\end{cases}$
将这两个方程相加：$(2a - 6b)+(2b - 6a)=-4+(-8)$，
化简得：$-4a - 4b=-12$，两边同除以$-4$得$a+b=3$，
因此$(a + b)^2=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
同解方程组，代数式求值
【点评】
本题考查同解方程组的应用，关键是先求出两个方程组的公共解，再代入含参数的方程，通过整体思想求出$a+b$的值，进而计算出结果，整体思想的运用是解题的技巧所在。
【难度系数】
0.6
因为两个方程组的解相同，所以联立方程①和③：
$\begin{cases}2x + y = -2① \\ 3x - y = 12③\end{cases}$
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$，
将$x=2$代入①得：$2×2 + y = -2$，解得$y=-6$。
把$\begin{cases}x=2 \\ y=-6\end{cases}$代入②和④，得：
$\begin{cases}2a - 6b = -4 \\ 2b - 6a = -8\end{cases}$
将这两个方程相加：$(2a - 6b)+(2b - 6a)=-4+(-8)$，
化简得：$-4a - 4b=-12$，两边同除以$-4$得$a+b=3$，
因此$(a + b)^2=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
同解方程组，代数式求值
【点评】
本题考查同解方程组的应用，关键是先求出两个方程组的公共解，再代入含参数的方程，通过整体思想求出$a+b$的值，进而计算出结果，整体思想的运用是解题的技巧所在。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于 $x$，$y$ 的两个方程组 $\begin{cases}2x - y = b \\ x - y = a\end{cases}$ 与 $\begin{cases}3x - 2y = b + 1 \\ 3y - 5x = a - 8\end{cases}$ 有相同的解，求 $a$，$b$ 的值。
答案
3. $a = 1$，$b = 3$。
解析：将第一个方程组的$a$，$b$代入第二个方程组，先解得$x = 2$，$y = 1$，代入第一个方程组即可得。
解析：将第一个方程组的$a$，$b$代入第二个方程组，先解得$x = 2$，$y = 1$，代入第一个方程组即可得。
解析
【解析】
因为两个方程组有相同的解，由第一个方程组可得$b=2x-y$，$a=x-y$，将其代入第二个方程组，得到：
$\begin{cases}3x - 2y = (2x - y) + 1 \\ 3y - 5x = (x - y) - 8\end{cases}$
化简该方程组：
第一个方程化简得$x - y = 1$；
第二个方程化简得$2y - 3x = -4$；
联立$\begin{cases}x - y = 1 \\ 2y - 3x = -4\end{cases}$，由$x - y = 1$得$x = y + 1$，代入$2y - 3x = -4$，解得$y=1$，进而得$x=2$。
将$x=2$，$y=1$代入第一个方程组，得$a=x-y=2-1=1$，$b=2x-y=4-1=3$。
【答案】
$a=1$，$b=3$
【知识点】
同解方程组、解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的应用，关键是利用方程组解相同的条件，将参数用未知数表示，转化为求解关于$x$、$y$的方程组，再代入求参数值，需熟练掌握代入消元法解二元一次方程组。
【难度系数】
0.6
因为两个方程组有相同的解，由第一个方程组可得$b=2x-y$，$a=x-y$，将其代入第二个方程组，得到：
$\begin{cases}3x - 2y = (2x - y) + 1 \\ 3y - 5x = (x - y) - 8\end{cases}$
化简该方程组：
第一个方程化简得$x - y = 1$；
第二个方程化简得$2y - 3x = -4$；
联立$\begin{cases}x - y = 1 \\ 2y - 3x = -4\end{cases}$，由$x - y = 1$得$x = y + 1$，代入$2y - 3x = -4$，解得$y=1$，进而得$x=2$。
将$x=2$，$y=1$代入第一个方程组，得$a=x-y=2-1=1$，$b=2x-y=4-1=3$。
【答案】
$a=1$，$b=3$
【知识点】
同解方程组、解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的应用，关键是利用方程组解相同的条件，将参数用未知数表示，转化为求解关于$x$、$y$的方程组，再代入求参数值，需熟练掌握代入消元法解二元一次方程组。
【难度系数】
0.6
4. 已知 $\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$ 是关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}mx + ny = 8 \\ nx - my = 1\end{cases}$ 的解，则 $2m - n$ 的值为 ______ 。
答案
4. $4$
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx + ny = 8 \\ nx - my = 1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8 ①\\ 2n - m = 1 ②\end{cases}$
由②得：$m = 2n - 1$ ③
将③代入①：$2(2n - 1) + n = 8$，
展开得：$4n - 2 + n = 8$，
合并同类项得：$5n = 10$，
解得：$n = 2$，
将$n = 2$代入③得：$m = 2×2 - 1 = 3$，
则$2m - n = 2×3 - 2 = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，核心是将已知解代入原方程组，转化为关于m、n的二元一次方程组，求解后代入目标代数式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx + ny = 8 \\ nx - my = 1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8 ①\\ 2n - m = 1 ②\end{cases}$
由②得：$m = 2n - 1$ ③
将③代入①：$2(2n - 1) + n = 8$，
展开得：$4n - 2 + n = 8$，
合并同类项得：$5n = 10$，
解得：$n = 2$，
将$n = 2$代入③得：$m = 2×2 - 1 = 3$，
则$2m - n = 2×3 - 2 = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，核心是将已知解代入原方程组，转化为关于m、n的二元一次方程组，求解后代入目标代数式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = 3 \\ kx + 2y = 4\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 之和为 $1$，则 $k=$ ______ 。
答案
5. $3$
解析
【解析】
根据题意，联立方程 $\begin{cases}2x + y = 3 \\ x + y = 1\end{cases}$，用代入消元法求解：
由 $x + y = 1$ 得 $y = 1 - x$，将其代入 $2x + y = 3$，得：
$2x + (1 - x) = 3$，
化简得 $x + 1 = 3$，解得 $x = 2$，
则 $y = 1 - 2 = -1$。
将 $x = 2$，$y = -1$ 代入 $kx + 2y = 4$，得：
$2k + 2×(-1) = 4$，
即 $2k - 2 = 4$，解得 $k = 3$。
【答案】
$3$
【知识点】
二元一次方程组解法；代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，关键是结合已知条件 $x+y=1$ 与原方程组的第一个方程联立，求出 $x$、$y$ 的值，再代入含参数的方程求解，考查消元思想的运用。
【难度系数】
0.7
根据题意，联立方程 $\begin{cases}2x + y = 3 \\ x + y = 1\end{cases}$，用代入消元法求解：
由 $x + y = 1$ 得 $y = 1 - x$，将其代入 $2x + y = 3$，得：
$2x + (1 - x) = 3$，
化简得 $x + 1 = 3$，解得 $x = 2$，
则 $y = 1 - 2 = -1$。
将 $x = 2$，$y = -1$ 代入 $kx + 2y = 4$，得：
$2k + 2×(-1) = 4$，
即 $2k - 2 = 4$，解得 $k = 3$。
【答案】
$3$
【知识点】
二元一次方程组解法；代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，关键是结合已知条件 $x+y=1$ 与原方程组的第一个方程联立，求出 $x$、$y$ 的值，再代入含参数的方程求解，考查消元思想的运用。
【难度系数】
0.7
