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6. 正六边形的一个内角的度数是.
答案
正n边形的内角公式为：$\mathrm{内角度数} = \frac{(n - 2) × 180{°}}{n}$，
将$n = 6$代入公式，
$\mathrm{内角度数} = \frac{(6 - 2) × 180{°}}{6}= \frac{4 × 180{°}}{6}= 120{°}$，
故答案为$120{°}$。
将$n = 6$代入公式，
$\mathrm{内角度数} = \frac{(6 - 2) × 180{°}}{6}= \frac{4 × 180{°}}{6}= 120{°}$，
故答案为$120{°}$。
7. 从十边形的一个顶点出发，可以作条对角线.
答案
从十边形的一个顶点出发，与其相邻的顶点有$2$个（即前一个和后一个），相邻顶点不能构成对角线，同时不能自身相连。
十边形总共有$10$个顶点，除去相邻的$2$个顶点和自身这个顶点，那么可连接的顶点数为：
$10 - 3= 7$（个）。
所以从十边形的一个顶点出发可以作$7$条对角线。
故答案为$7$。
十边形总共有$10$个顶点，除去相邻的$2$个顶点和自身这个顶点，那么可连接的顶点数为：
$10 - 3= 7$（个）。
所以从十边形的一个顶点出发可以作$7$条对角线。
故答案为$7$。
8. 如果一个多边形的每个内角都是 $ 140^{\circ} $，那么这个多边形的边数为.
答案
设多边形的边数为$n$。
由多边形内角公式得：$内角=\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n}$。
已知每个内角是$140^{\circ}$，则可列出方程：
$\frac{(n - 2) × 180}{n} = 140$，
$180n - 360 = 140n$，
$180n - 140n = 360$，
$40n = 360$，
$n = 9$。
故答案为：$9$。
由多边形内角公式得：$内角=\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n}$。
已知每个内角是$140^{\circ}$，则可列出方程：
$\frac{(n - 2) × 180}{n} = 140$，
$180n - 360 = 140n$，
$180n - 140n = 360$，
$40n = 360$，
$n = 9$。
故答案为：$9$。
9. 如果一个正多边形的内角和为 $ 1080^{\circ} $，那么这个正多边形的每个外角的度数为.
答案
设这个正多边形的边数为$n$。
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^{\circ} = 1080^{\circ}$
解得：$n - 2 = 1080^{\circ}÷180^{\circ}$
$n - 2 = 6$
$n = 8$
因为多边形外角和为$360^{\circ}$，所以每个外角的度数为：$360^{\circ}÷8 = 45^{\circ}$
45°
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^{\circ} = 1080^{\circ}$
解得：$n - 2 = 1080^{\circ}÷180^{\circ}$
$n - 2 = 6$
$n = 8$
因为多边形外角和为$360^{\circ}$，所以每个外角的度数为：$360^{\circ}÷8 = 45^{\circ}$
45°
10. 如图，在五边形 $ ABCDE $ 中，$ AB // DE $，$ ∠ 1 $，$ ∠ 2 $，$ ∠ 3 $ 分别是 $ ∠ ABC $，$ ∠ BCD $，$ ∠ CDE $ 的邻补角，则 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = $.
答案
∵∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的邻补角，
∴∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠BCD，∠3=180°-∠CDE，
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠ABC+∠BCD+∠CDE)=540°-(∠ABC+∠BCD+∠CDE).
五边形ABCDE内角和为(5-2)×180°=540°，
即∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠E=540°，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=540°-(∠A+∠E)，
∴∠1+∠2+∠3=540°-[540°-(∠A+∠E)]=∠A+∠E.
∵AB//DE，
∴∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2+∠3=180°.
180°
∴∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠BCD，∠3=180°-∠CDE，
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠ABC+∠BCD+∠CDE)=540°-(∠ABC+∠BCD+∠CDE).
五边形ABCDE内角和为(5-2)×180°=540°，
即∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠E=540°，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=540°-(∠A+∠E)，
∴∠1+∠2+∠3=540°-[540°-(∠A+∠E)]=∠A+∠E.
∵AB//DE，
∴∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2+∠3=180°.
180°
11. 已知一个多边形的外角和是内角和的 $ \frac{2}{9} $，求这个多边形的边数及对角线的总条数.
答案
设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
解得：$n = 11$
对角线总条数公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$，代入$n = 11$得：
$\frac{11×(11 - 3)}{2} = 44$
边数为$11$，对角线总条数为$44$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
解得：$n = 11$
对角线总条数公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$，代入$n = 11$得：
$\frac{11×(11 - 3)}{2} = 44$
边数为$11$，对角线总条数为$44$。
12. 如图，在五边形 $ ABCDE $ 中，$ ∠ A + ∠ B + ∠ E = 300^{\circ} $，$ DP $，$ CP $ 分别平分 $ ∠ EDC $，$ ∠ BCD $，求 $ ∠ P $ 的度数.
答案
$60^{\circ}$
解析
∵五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，
又$∠ A+∠ B+∠ E=300^{\circ}$，
$\therefore∠ EDC+∠ BCD=540^{\circ}-300^{\circ}=240^{\circ}$。
$\because DP$，$CP$分别平分$∠ EDC$，$∠ BCD$，
$\therefore∠ PDC=\frac{1}{2}∠ EDC$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，
$\therefore∠ PDC+∠ PCD=\frac{1}{2}(∠ EDC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×240^{\circ}=120^{\circ}$。
在$△ PDC$中，$∠ P=180^{\circ}-(∠ PDC+∠ PCD)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
又$∠ A+∠ B+∠ E=300^{\circ}$，
$\therefore∠ EDC+∠ BCD=540^{\circ}-300^{\circ}=240^{\circ}$。
$\because DP$，$CP$分别平分$∠ EDC$，$∠ BCD$，
$\therefore∠ PDC=\frac{1}{2}∠ EDC$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，
$\therefore∠ PDC+∠ PCD=\frac{1}{2}(∠ EDC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×240^{\circ}=120^{\circ}$。
在$△ PDC$中，$∠ P=180^{\circ}-(∠ PDC+∠ PCD)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
