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13. 一个正五边形和一个正六边形按下图方式摆放，它们都有一边在直线 $ l $ 上，且有一个公共顶点 $ O $. 求 $ ∠ AOB $ 的度数.
答案
1. 正五边形内角：$(5-2)×180°÷5=108°$。
2. 正六边形内角：$(6-2)×180°÷6=120°$。
3. 直线$l$上$O$点处，正五边形一边与直线$l$夹角为$180° - 108°=72°$。
4. 正六边形一边与直线$l$夹角为$120°$。
5. $∠ AOB=120° - 72°=48°$。
48°
2. 正六边形内角：$(6-2)×180°÷6=120°$。
3. 直线$l$上$O$点处，正五边形一边与直线$l$夹角为$180° - 108°=72°$。
4. 正六边形一边与直线$l$夹角为$120°$。
5. $∠ AOB=120° - 72°=48°$。
48°
如图，在五边形 $ ABCDE $ 中，$ AE // BC $，$ EF $ 平分 $ ∠ AED $，$ CF $ 平分 $ ∠ BCD $. 若 $ ∠ EDC = 80^{\circ} $，求 $ ∠ EFC $ 的度数.
答案
连接EC，五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
因为$AE// BC$，所以$∠ EAB+∠ ABC=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
设$∠ AED=2x$，$∠ BCD=2y$，则$EF$平分$∠ AED$得$∠ FED=x$，$CF$平分$∠ BCD$得$∠ FCD=y$。
五边形内角和：$∠ EAB+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE+∠ DEA=540^{\circ}$，即$180^{\circ}+2y+80^{\circ}+2x=540^{\circ}$，化简得$2x+2y=280^{\circ}$，则$x+y=140^{\circ}$。
在四边形$EFCD$中，内角和为$360^{\circ}$，即$∠ FED+∠ EDC+∠ FCD+∠ EFC=360^{\circ}$，代入得$x+80^{\circ}+y+∠ EFC=360^{\circ}$。
因为$x+y=140^{\circ}$，所以$140^{\circ}+80^{\circ}+∠ EFC=360^{\circ}$，解得$∠ EFC=140^{\circ}$。
$∠ EFC=140^{\circ}$
因为$AE// BC$，所以$∠ EAB+∠ ABC=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
设$∠ AED=2x$，$∠ BCD=2y$，则$EF$平分$∠ AED$得$∠ FED=x$，$CF$平分$∠ BCD$得$∠ FCD=y$。
五边形内角和：$∠ EAB+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE+∠ DEA=540^{\circ}$，即$180^{\circ}+2y+80^{\circ}+2x=540^{\circ}$，化简得$2x+2y=280^{\circ}$，则$x+y=140^{\circ}$。
在四边形$EFCD$中，内角和为$360^{\circ}$，即$∠ FED+∠ EDC+∠ FCD+∠ EFC=360^{\circ}$，代入得$x+80^{\circ}+y+∠ EFC=360^{\circ}$。
因为$x+y=140^{\circ}$，所以$140^{\circ}+80^{\circ}+∠ EFC=360^{\circ}$，解得$∠ EFC=140^{\circ}$。
$∠ EFC=140^{\circ}$
