13. (★★)中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状,如图①,用三角形房梁支撑房檩,做成三角形屋脊,图②是房梁的平面图,$ MN $ 是加固房梁的一根横撑.若 $ AB = AC = 5 $ m,$ BC = 6 $ m,$ M $ 为 $ BC $ 的中点,$ MN ⊥ AC $ 于点 $ N $,则 $ MN $ 的长度为m.

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连接AM，∵AB=AC，M为BC中点，∴AM⊥BC，BM=MC=3m。在Rt△ABM中，AM²=AB²-BM²=5²-3²=16，∴AM=4m。S△ABC=BC×AM/2=6×4/2=12m²，故S△AMC=6m²。又S△AMC=AC×MN/2，即5×MN/2=6，解得MN=12/5。

14. (★★)如图,$ AB $,$ BC $,$ CD $,$ DE $ 是四根长度均为 $ 10 $ cm 的火柴棒,点 $ A $,$ C $,$ E $ 共线,若 $ AC = 12 $ cm,$ CD ⊥ BC $,则线段 $ CE $ 的长度是.

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以点C为原点，直线AE为x轴建立坐标系，C(0,0)，A(-12,0)。设B(x,y)，由AB=BC=10cm，得方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=100\\(x+12)^2+y^2=100\end{cases}$，解得x=-6，y=8，即B(-6,8)。BC斜率为$\frac{8-0}{-6-0}=-\frac{4}{3}$，CD⊥BC，故CD斜率为$\frac{3}{4}$。设D(m,n)，$\frac{n}{m}=\frac{3}{4}$且$m^2+n^2=10^2$，解得m=8，n=6（第一象限），即D(8,6)。设E(e,0)，DE=10cm，$\sqrt{(e-8)^2+(0-6)^2}=10$，解得e=16（e=0舍去），故CE=16cm。

15. (★★)某中学为了让师生近距离感受无人机的神奇魅力,邀请创新科普团队走进校园,开展无人机展示活动.如图,操作人员控制的无人机升到距离地面 $ 18 $ m 高的点 $ D $ 处 ($ CD = 18 $ m),发现空中点 $ A $ 处有一只风筝,无人机上的测距仪测得 $ AD = 17 $ m,点 $ A $ 与点 $ D $ 之间的水平距离 $ AE = 15 $ m,已知 $ AE ⊥ CD $ 于点 $ E $,$ AB = CE $,$ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $ 在同一平面内,求风筝距离地面的高度 $ AB $.

在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=17m，AE=15m，
由勾股定理得：DE²=AD²-AE²=17²-15²=64，
∴DE=8m，
∵CD=18m，
∴CE=CD-DE=18-8=10m，
∵AB=CE，
∴AB=10m，
答：风筝距离地面的高度AB为10m。

16. (★★)如图,一个梯子 $ AB $ 斜靠在一竖直的墙 $ AO $ 上,测得 $ AO = 4 $ m.若梯子的顶端沿墙面向下滑动 $ 1 $ m,这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动 $ 1 $ m,求梯子 $ AB $ 的长度.

设梯子AB的长度为$ x $米，初始时梯子底端距墙$ OB = y $米。
在$ Rt△ AOB $中，由勾股定理得：$ x^2 = AO^2 + OB^2 $，即$ x^2 = 4^2 + y^2 $ ①
顶端下滑1米后，$ OC = AO - 1 = 3 $米，底端外移1米后，$ OD = OB + 1 = y + 1 $米。
在$ Rt△ COD $中，由勾股定理得：$ x^2 = OC^2 + OD^2 $，即$ x^2 = 3^2 + (y + 1)^2 $ ②
联立①②：$ 16 + y^2 = 9 + (y + 1)^2 $
展开得：$ 16 + y^2 = 9 + y^2 + 2y + 1 $
化简得：$ 16 = 10 + 2y $，解得$ y = 3 $
代入①：$ x^2 = 16 + 3^2 = 25 $，$ x = 5 $
答：梯子AB的长度为5米。