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9. (★★)如图，一棵垂直于地面且高度为 10 m 的大树被大风吹折，折断处 A 与地面的距离 AC = 4 m，树尖恰好碰到地面上 B 处. 在大树倒下的正前方 D 处停着一辆小轿车，CD = 4.8 m，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由.
答案
解：由题意知，AC=4m，树高10m，所以AB=10-4=6m。
在Rt△ACB中，AC⊥BC，AC=4m，AB=6m，根据勾股定理得：
BC² + AC² = AB²
BC² + 4² = 6²
BC² = 36 - 16 = 20
BC = √20 = 2√5 ≈ 4.47m
因为CD=4.8m，且B、D在C点同侧，所以BD=CD - BC ≈ 4.8 - 4.47 = 0.33m ＞ 0。
答：树枝落地时不会砸着小轿车。
在Rt△ACB中，AC⊥BC，AC=4m，AB=6m，根据勾股定理得：
BC² + AC² = AB²
BC² + 4² = 6²
BC² = 36 - 16 = 20
BC = √20 = 2√5 ≈ 4.47m
因为CD=4.8m，且B、D在C点同侧，所以BD=CD - BC ≈ 4.8 - 4.47 = 0.33m ＞ 0。
答：树枝落地时不会砸着小轿车。
10. (★)如图①,小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长:一脚踩住绳子的中央,手肘靠近身体,两肘弯曲 $ 90^{\circ} $,小臂水平转向两侧,两手将绳拉直,绳长即合适长度.将图①抽象成图②,若两手握住的绳柄两端距离约为 $ 1 $ m,小臂到地面的距离约 $ 1.2 $ m,则适合小明的绳长约为m.
答案
2.6
解析
过三角形顶点作底边垂线，构成两个直角三角形。直角三角形的一条直角边为两手距离的一半，即$1÷2 = 0.5$m，另一条直角边为小臂到地面的距离$1.2$m。根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.25 + 1.44} = \sqrt{1.69} = 1.3$m。绳长为斜边长的2倍，即$1.3×2 = 2.6$m。
11. (★★)如图,某自动感应门的正上方 $ A $ 处装着一个感应器,离地面高度 $ AB = 2.5 $ m,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一名身高为 $ 1.6 $ m 的学生 $ CD $ 正对着门,缓慢走到离门 $ 1.2 $ m 的地方时 ($ BC = 1.2 $ m),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离 $ AD $ 等于m.
答案
1.5
解析
过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，BE=CD=1.6m，DE=BC=1.2m。AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9m。在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²=0.9²+1.2²=0.81+1.44=2.25，AD=1.5m。
12. (★★)如图,某款自动感应水龙头,在距离洗手台面 $ 20 $ cm 的点 $ C $ 处连接着出水口 $ D $ 所在的水管,水管 $ AB $ 上的点 $ E $ 处安装有红外线感应装置.已知出水口 $ D $ 到点 $ C $ 的距离 $ CD $ 为 $ 15 $ cm,出水口 $ D $ 到点 $ E $ 的距离为 $ 17 $ cm,且 $ CD ⊥ AB $,则红外线感应装置距离洗手台面的高度 $ BE $ 为cm.
答案
12
解析
由题意知，CD⊥AB，故△DCE为直角三角形，∠DCE=90°。已知CD=15cm，DE=17cm，根据勾股定理得CE²=DE²-CD²=17²-15²=289-225=64，所以CE=8cm。点C距离洗手台面20cm，即BC=20cm。因E在AB上且位于C下方（感应装置在出水口下方合理），故BE=BC-CE=20-8=12cm。
