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1. (★)在△ABC 中，∠C = 90°，若 AC = 8，AB = 10，则 BC 的长是【 】
A.7
B.6
C.5
D.2
A.7
B.6
C.5
D.2
答案
B
解析
在直角三角形中，根据勾股定理有$AB^2 = AC^2 + BC^2$，已知$AB=10$，$AC = 8$，则$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2} - 8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
2. (★)已知直角三角形的两条边长分别为 1 和 2，则第三条边的长度为【 】
A.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$
A.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$
答案
D
解析
本题需分情况讨论，因为不确定两条边1和2哪条是直角边，哪条是斜边。
情况一：若1和2是两条直角边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边），可得第三条边（斜边）的长度为$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
情况二：若2是斜边，1是一条直角边，则另一条直角边为$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
所以第三条边的长度为$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$。
情况一：若1和2是两条直角边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边），可得第三条边（斜边）的长度为$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
情况二：若2是斜边，1是一条直角边，则另一条直角边为$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
所以第三条边的长度为$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$。
3. (★)(2025·连云港)如图，长为 3 m 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 1.8 m，则梯子顶端的高度 h 为m.
答案
$2.4$
解析
由题意可知，梯子、墙和地面构成一个直角三角形，梯子长度为斜边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），设梯子顶端的高度为$h$米，已知梯子长$3$米，梯子底端离墙脚线的距离为$1.8$米，则可列出方程$h = \sqrt{3^{2}-1.8^{2}}=\sqrt{9 - 3.24}=\sqrt{5.76}=2.4$（米）。
4. (★)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 m，顶端距离地面 2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 m，则小巷的宽度为m.
答案
2.2
解析
设梯子长度为$ l $，小巷宽度为$ x $。
当梯子斜靠在左墙时，由勾股定理得：$ l^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25 $，故$ l = 2.5 \, \mathrm{m} $。
当梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为$ x - 0.7 $，顶端距地面$ 2 \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：$ l^2 = (x - 0.7)^2 + 2^2 $。
代入$ l^2 = 6.25 $，得$ 6.25 = (x - 0.7)^2 + 4 $，即$ (x - 0.7)^2 = 2.25 $，解得$ x - 0.7 = 1.5 $（负值舍去），故$ x = 2.2 \, \mathrm{m} $。
当梯子斜靠在左墙时，由勾股定理得：$ l^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25 $，故$ l = 2.5 \, \mathrm{m} $。
当梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为$ x - 0.7 $，顶端距地面$ 2 \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：$ l^2 = (x - 0.7)^2 + 2^2 $。
代入$ l^2 = 6.25 $，得$ 6.25 = (x - 0.7)^2 + 4 $，即$ (x - 0.7)^2 = 2.25 $，解得$ x - 0.7 = 1.5 $（负值舍去），故$ x = 2.2 \, \mathrm{m} $。
5. (★)一辆装满货物，宽为 1.6 m 的微型卡车，欲通过如图所示的隧道(隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门)，则卡车的外形(CH)不得高于【 】
A.3.1 m
B.3 m
C.2.9 m
D.2.8 m
A.3.1 m
B.3 m
C.2.9 m
D.2.8 m
答案
C
解析
隧道上方为半圆形拱门，直径为2m，半径OC=1m。卡车宽1.6m，故从中心线到卡车边缘的水平距离OD=0.8m。在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=√(OC²-OD²)=√(1²-0.8²)=0.6m。隧道下方长方形高度为2.3m，故卡车最大高度CH=2.3+0.6=2.9m。
6. (★★)如图，一厂房屋顶剖面示意图，如果屋檐 AB = AC = 5 m，横梁 BC = 8 m，那么从梁 BC 上的任意一点 D 要支一根木头顶住屋顶 A 处，这根木头需要的长度可能是【 】
A.2.5 m
B.6 m
C.4 m
D.8 m
A.2.5 m
B.6 m
C.4 m
D.8 m
答案
C
解析
在等腰△ABC中，AB=AC=5m，BC=8m。当AD⊥BC时，AD最短（垂线段最短），此时D为BC中点，BD=4m。由勾股定理得AD=√(AB²-BD²)=√(5²-4²)=3m。当D与B或C重合时，AD最长为AB=AC=5m，故AD长度范围为3m≤AD≤5m。选项中只有4m在此范围内。
7. (★★)如图，高速公路上有 A，B 两点，相距 10 km，C，D 为两村庄. 已知 DA = 4 km，CB = 6 km，DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，现要在 AB 上建一个服务站 E，使得 C，D 两村庄到 E 站的距离相等，则 EA 的长是【 】
A.4 km
B.5 km
C.6 km
D.$2\sqrt{5}$ km
A.4 km
B.5 km
C.6 km
D.$2\sqrt{5}$ km
答案
C
解析
设EA的长为x km，则EB的长为(10 - x)km。
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴△DAE和△CBE均为直角三角形。
根据勾股定理，得DE² = DA² + EA² = 4² + x²，CE² = CB² + EB² = 6² + (10 - x)²。
∵DE = CE，
∴4² + x² = 6² + (10 - x)²，
即16 + x² = 36 + 100 - 20x + x²，
化简得20x = 120，解得x = 6。
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴△DAE和△CBE均为直角三角形。
根据勾股定理，得DE² = DA² + EA² = 4² + x²，CE² = CB² + EB² = 6² + (10 - x)²。
∵DE = CE，
∴4² + x² = 6² + (10 - x)²，
即16 + x² = 36 + 100 - 20x + x²，
化简得20x = 120，解得x = 6。
8. (★★) 如图，由于大风，山坡上的甲树从点 A 处被拦腰折断(AB 垂直于水平面)，其树顶端恰好落在乙树(乙垂直于水平面)的根部 C 处. 若 AB = 4 m，BC = 13 m，两棵树的水平距离为 12 m，求甲树折断前的高度.
答案
解：设甲树根部为点B，乙树根部为点C，过点B作水平面的垂线，垂足为B（即B在水平面上），A为甲树折断点，AB⊥水平面，AB=4m，故A在B正上方4m处。
∵两棵树水平距离为12m，即B、C在水平面上的投影距离为12m，BC=13m。
在Rt△中，由勾股定理得：$BC^2 = 水平距离^2 + 竖直距离^2$，
即$13^2 = 12^2 + h^2$，解得$h=5m$（h为B、C竖直距离）。
∵乙树在山坡，C在B下方5m，∴A到C的竖直距离为$4 + 5 = 9m$。
AC为折断部分，水平距离12m，竖直距离9m，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15m$。
甲树折断前高度为$AB + AC = 4 + 15 = 19m$。
答：甲树折断前的高度为19m。
∵两棵树水平距离为12m，即B、C在水平面上的投影距离为12m，BC=13m。
在Rt△中，由勾股定理得：$BC^2 = 水平距离^2 + 竖直距离^2$，
即$13^2 = 12^2 + h^2$，解得$h=5m$（h为B、C竖直距离）。
∵乙树在山坡，C在B下方5m，∴A到C的竖直距离为$4 + 5 = 9m$。
AC为折断部分，水平距离12m，竖直距离9m，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15m$。
甲树折断前高度为$AB + AC = 4 + 15 = 19m$。
答：甲树折断前的高度为19m。
