17. (★★★)【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中两个重要的思想方法.先阅读以下材料,然后解答后面的问题.
例:求代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12 - x)^{2}+2^{2}} $ 的最小值.
分析:$ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $ 和 $ \sqrt{(12 - x)^{2}+2^{2}} $ 是勾股定理的形式,$ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $ 是直角边长分别是 $ x $ 和 $ 3 $ 的直角三角形的斜边长,$ \sqrt{(12 - x)^{2}+2^{2}} $ 是直角边长分别是 $ 12 - x $ 和 $ 2 $ 的直角三角形的斜边长,因此,我们构造两个直角 $ △ ABC $ 和 $ △ DEF $,并使直角边 $ BC $ 和 $ EF $ 在同一直线上(图①),向右平移直角 $ △ ABC $,使点 $ B $ 和 $ E $ 重合(图②),这时 $ CF = x + 12 - x = 12 $,$ AC = 3 $,$ DF = 2 $,问题就变成“点 $ B $ 在线段 $ CF $ 的何处时,$ AB + DB $ 最短?”根据“两点之间,线段最短”,得到线段 $ AD $ 就是它们的最小值.

【模型应用】
(1)代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12 - x)^{2}+2^{2}} $ 的最小值为;
(2)变式训练:利用图③,求代数式 $ \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5 - x)^{2}+1} $ 的最小值.

(1)
由图②可知，过$A$，$D$分别作垂直于$CF$的垂线，垂足分别为$C$，$F$，在$Rt△ AHD$中，$AC = 3$，$DF=2$，$CH = x$，$HF = 12 - x$，$CF=12$，
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}+CF^{2}+DF^{2（或根据两垂直边和斜边关系）}}=\sqrt{3^{2} + 12^{2}+2^{2}}$（这里通过构建大直角三角形，水平边长为$12$，竖直边长为$3 + 2=5$）
根据勾股定理$AD=\sqrt{12^{2}+(3 + 2)^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
(2)
对于代数式$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5 - x)^{2}+1}$，
构造图形，过$A$，$D$分别作垂直于$CF$的垂线，垂足分别为$C$，$F$，$AC = 2$，$DF = 1$，$CF=5$，
同样根据两点之间线段最短，在$Rt△ AHD$中，水平方向长度为$5$，竖直方向长度为$2+1 = 3$，
根据勾股定理$AD=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}$。
故答案为：(1)$13$；(2)$\sqrt{34}$。