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1. (★)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若AC=2,BC=1,则AB=;
(2)若AB=2,BC=1,则AC=;
(3)若∠A=30°,BC=3,则AC=.
]
(1)若AC=2,BC=1,则AB=;
(2)若AB=2,BC=1,则AC=;
(3)若∠A=30°,BC=3,则AC=.
]
答案
√5；√3；3√3
解析
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(2²+1²)=√5；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(2²-1²)=√3；
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，因为30°所对直角边是斜边的一半，所以AB=2BC=6，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(6²-3²)=3√3。
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(2²-1²)=√3；
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，因为30°所对直角边是斜边的一半，所以AB=2BC=6，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(6²-3²)=3√3。
2. (★)如图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为【 】
A.√3
B.2
C.√5
D.3
A.√3
B.2
C.√5
D.3
答案
B
解析
1. 由题意，已知 $AB = BC = CD = DE = 1$，且 $BC ⊥ AB$，$CD ⊥ AC$，$DE ⊥ AD$。
2. 由 $BC ⊥ AB$，$BC = AB = 1$，因此 $△ ABC$ 是等腰直角三角形，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
3. 由 $CD ⊥ AC$，$CD = 1$，$AC = \sqrt{2}$，因此 $△ ACD$ 是直角三角形，$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
4. 由 $DE ⊥ AD$，$DE = 1$，$AD = \sqrt{3}$，因此 $△ ADE$ 是直角三角形，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$。
2. 由 $BC ⊥ AB$，$BC = AB = 1$，因此 $△ ABC$ 是等腰直角三角形，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
3. 由 $CD ⊥ AC$，$CD = 1$，$AC = \sqrt{2}$，因此 $△ ACD$ 是直角三角形，$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
4. 由 $DE ⊥ AD$，$DE = 1$，$AD = \sqrt{3}$，因此 $△ ADE$ 是直角三角形，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$。
3. (★)数轴上的点与实数一一对应,我们能在数轴上画出表示√13的点.
步骤:
(1)如图①,在数轴上找出点A,使OA=;
(2)过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=;
(3)以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴正半轴的交点C即为表示√13的点.
请仿照以上作法,在图②所示的数轴上画出表示√26的点.
]
步骤:
(1)如图①,在数轴上找出点A,使OA=;
(2)过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=;
(3)以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴正半轴的交点C即为表示√13的点.
请仿照以上作法,在图②所示的数轴上画出表示√26的点.
]答案
（1）5
（2）1
（3）以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示√26的点。
（2）1
（3）以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示√26的点。
4. (★)如图,一台笔记本电脑平放在桌上,屏幕宽BC为25cm,当电脑张角为∠ABC时,顶部边缘C处离桌面的距离CE为20cm,调整电脑的张角,当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时,顶部边缘D处到桌面的距离DF为15cm,则E,F两点之间的距离为cm.
]
]答案
5
解析
在Rt△BCE中，BC=25cm，CE=20cm，∠CEB=90°，由勾股定理得：BE²=BC²-CE²=25²-20²=225，∴BE=15cm。
在Rt△BDF中，BD=BC=25cm，DF=15cm，∠DFB=90°，由勾股定理得：BF²=BD²-DF²=25²-15²=400，∴BF=20cm。
由图知点F、E、B在同一直线上，且F在E左侧，E在B左侧，∴EF=BF-BE=20-15=5cm。
在Rt△BDF中，BD=BC=25cm，DF=15cm，∠DFB=90°，由勾股定理得：BF²=BD²-DF²=25²-15²=400，∴BF=20cm。
由图知点F、E、B在同一直线上，且F在E左侧，E在B左侧，∴EF=BF-BE=20-15=5cm。
5. (★)如图,点C在数轴上表示的数是2,线段BC与数轴垂直,且BC=1.以点O为圆心,OB长为半径画弧,与数轴交于点A,则点A表示的数是【 】
A.√5
B.√3
C.√6
D.3
A.√5
B.√3
C.√6
D.3
答案
A
解析
∵点C在数轴上表示的数是2，BC⊥数轴，BC=1，∴OC=2，BC=1。在Rt△OBC中，OB=√(OC²+BC²)=√(2²+1²)=√5。∵以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点A，∴OA=OB=√5，∴点A表示的数是√5。
6. (★★)如图,数轴上的点O表示的数是0,点A表示的数是2,OB⊥OA,垂足为O,且OB=1,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交数轴于点C,则点C表示的数为【 】
A.-√5
B.-2+√5
C.2-√5
D.-2-√5
A.-√5
B.-2+√5
C.2-√5
D.-2-√5
答案
C
解析
在$Rt \bigtriangleup AOB$中，
$\because ∠ AOB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$OB = 1$，
$\therefore AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{5}$，
用圆规以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交数轴于点$C$，
故$AC = AB = \sqrt{5}$，
因为点$C$在数轴上原点的左侧，
故C点表示的数为$2 - \sqrt{5}$。
$\because ∠ AOB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$OB = 1$，
$\therefore AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{5}$，
用圆规以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交数轴于点$C$，
故$AC = AB = \sqrt{5}$，
因为点$C$在数轴上原点的左侧，
故C点表示的数为$2 - \sqrt{5}$。
7. (★★)如图,将15只空油桶(每只油桶底面的直径均为1m)堆在一起,要给它们盖一个遮雨棚,遮雨棚起码高为m(结果保留根号).
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]
答案
2√3 + 1
解析
15只油桶堆成5层，数量分别为1,2,3,4,5（1+2+3+4+5=15）。底层5只油桶圆心在同一直线，相邻圆心距1m（直径）。每层圆心位于下层两相邻圆心正上方，构成等边三角形，相邻层圆心垂直距离为等边三角形高：√3/2 m。共4个层间距，总垂直距离4×(√3/2)=2√3 m。遮雨棚高度=层间总垂直距离+上下半径（各0.5m），即2√3 + 0.5 + 0.5=2√3 + 1。
