3. (★)如图，AB，BC，CD 是某正多边形相邻的三条边，延长 AB，DC 交于点 P，∠P = 120°。

(1) ∠PBC 的度数为；
(2) 该多边形为正边形；
(3) 该多边形对角线的总条数是。

30°；十二；54

(1)设正多边形边数为n，其外角为x。AB、BC、CD为相邻边，延长AB、DC交于P，∠P=120°。∠PBC和∠PCB为正多边形外角，故∠PBC=∠PCB=x。在△PBC中，x+x+120°=180°，解得x=30°，即∠PBC=30°。
(2)正多边形外角和为360°，边数n=360°÷30°=12，故为正十二边形。
(3)n边形对角线总条数公式为n(n-3)/2，当n=12时，12×(12-3)/2=54。

4. (★★)如图，用三种方法分割五边形。
(1) 三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有什么关系？
(2) 若是 n(n 为大于 3 的整数)边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数。

(1) 三种分割方法把多边形分成的三角形个数与多边形边数的关系分别为：边数-2、边数、边数-1。
(2) n边形时，三种方法分割所得三角形的个数分别为：n-2、n、n-1。

5. (★)现有一张平行四边形 ABCD 纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边 BC，AD 上分别找点 M，N，使得四边形 AMCN 为平行四边形，甲、乙两名同学的作法如图所示，下列判断正确的是 【 】


A.甲对、乙不对
B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对

C

在平行四边形ABCD中，AD//BC。
甲的作法：若通过尺规使AN=CM，由于AN//CM（AD//BC），则四边形AMCN一组对边平行且相等，为平行四边形。
乙的作法：若通过尺规使AM//CN，由于AN//CM（AD//BC），则四边形AMCN两组对边分别平行，为平行四边形。
甲、乙作法均符合平行四边形判定定理。

6. (★)在□ABCD 中，∠A + ∠C = 130°，则 ∠B 的度数为。

115°

在□ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°。因为∠A+∠C=130°，所以∠A=65°，则∠B=180°-65°=115°。

7. (★★)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 BD ⊥ AD，BD ⊥ BC，AD = 11 - x，BC = x - 5，则当 x =时，四边形 ABCD 是平行四边形。

8

∵BD⊥AD，BD⊥BC，∴AD//BC（垂直于同一直线的两直线平行）。要使四边形ABCD是平行四边形，需AD=BC。即11 - x = x - 5，解得x=8。

8. (★★)如图，在□ABCD 中，BE ⊥ AC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F，连接 DE，BF。
(1) 求证：四边形 BEDF 为平行四边形；
(2) 若 AB = √{10}，∠BED = 135°，BE : AC = 3 : 5，求 DF 的长。

(1) 见解析；(2) 3。

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°，BE//DF。
在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE=DF。
∵BE//DF且BE=DF，∴四边形BEDF为平行四边形。
(2) 设BE=3k，AC=5k(k＞0)，则DF=BE=3k。
∵△ABE≌△CDF，设AE=CF=x，在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，即x²+(3k)²=(√10)²，得x²+9k²=10①。
∵四边形BEDF是平行四边形，∠BED=135°，AC=5k，∴EF=AC-2x=5k-2x。
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=(3k)²+(5k-2x)²。
设AC中点为O，则AO=OC=5k/2，EO=AO-AE=5k/2 -x。
在Rt△BEO中，BO²=BE²+EO²=(3k)²+(5k/2 -x)²，BD=2BO。
由余弦定理：BD²=BE²+DE²-2·BE·DE·cos135°，代入得4[9k²+(5k/2 -x)²]=9k²+[9k²+(5k-2x)²]+3√2k·DE。
化简得DE=3√2k，代入DE²=9k²+(5k-2x)²，得(3√2k)²=9k²+(5k-2x)²，即(5k-2x)²=9k²，解得5k-2x=3k（5k-2x=-3k舍去，因x＜5k/2），∴x=k。
代入①：k²+9k²=10，得k=1，∴DF=3k=3。