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9. (★★)如图，DE 是△ABC 的中位线，∠ABC 的平分线交 DE 于点 F，若 ∠DFB = 32°，则 ∠ABC 的度数为。
答案
64°
解析
∵DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，∴∠DFB=∠FBC=32°。∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠FBC=64°。
10. (★★)如图，在四边形 ABCD 中，AC ⊥ BD，DB = 4，AC = 6，E，F 分别为 AB，CD 的中点，则 EF 的长为。
答案
√13
解析
取AD中点G，连接EG、FG。
∵E为AB中点，G为AD中点，∴EG是△ABD中位线，∴EG//BD，EG=1/2BD=2。
∵F为CD中点，G为AD中点，∴FG是△ACD中位线，∴FG//AC，FG=1/2AC=3。
∵AC⊥BD，EG//BD，FG//AC，∴EG⊥FG。
在Rt△EGF中，EF=√(EG²+FG²)=√(2²+3²)=√13。
∵E为AB中点，G为AD中点，∴EG是△ABD中位线，∴EG//BD，EG=1/2BD=2。
∵F为CD中点，G为AD中点，∴FG是△ACD中位线，∴FG//AC，FG=1/2AC=3。
∵AC⊥BD，EG//BD，FG//AC，∴EG⊥FG。
在Rt△EGF中，EF=√(EG²+FG²)=√(2²+3²)=√13。
11. (★★)如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC = 135°，E，F 分别是 AB，AD 的中点，连接 EF，BD，且 ∠AFE = 45°。
(1) 求 ∠BDC 的度数；
(2) 若 CD = 5，BC 比 BD 长 1，求 EF 的长。
(1) 求 ∠BDC 的度数；
(2) 若 CD = 5，BC 比 BD 长 1，求 EF 的长。
答案
(1) ∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF//BD，∴∠AFE=∠ADB=45°。
∵∠ADC=135°，∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠BDC=∠ADC - ∠ADB=135° - 45°=90°。
(2) 设BD=x，则BC=x+1。
∵∠BDC=90°，CD=5，∴在Rt△BDC中，BD² + CD² = BC²，即x² + 5² = (x+1)²。
解得x=12，∴BD=12。
∵EF是△ABD的中位线，∴EF=1/2 BD=6。
(1) 90°；(2) 6。
∵∠ADC=135°，∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠BDC=∠ADC - ∠ADB=135° - 45°=90°。
(2) 设BD=x，则BC=x+1。
∵∠BDC=90°，CD=5，∴在Rt△BDC中，BD² + CD² = BC²，即x² + 5² = (x+1)²。
解得x=12，∴BD=12。
∵EF是△ABD的中位线，∴EF=1/2 BD=6。
(1) 90°；(2) 6。
12. (★)已知一个正多边形的一个外角等于 $72^{\circ}$，则这个正多边形的内角和的度数为，它是正边形。
答案
内角和度数为$540{°}$；五。
解析
正多边形的所有外角之和为$360{°}$，由题意知一个外角为$72{°}$，所以正多边形的边数为：
$n = \frac{360{°}}{72{°}} = 5$，
正多边形的内角和公式为：
$S = (n - 2) × 180{°}$，
代入$n = 5$，得：
$S = (5 - 2) × 180{°} = 540{°}$。
$n = \frac{360{°}}{72{°}} = 5$，
正多边形的内角和公式为：
$S = (n - 2) × 180{°}$，
代入$n = 5$，得：
$S = (5 - 2) × 180{°} = 540{°}$。
13. (★)已知一个多边形的内角和比它的外角和的 $4$ 倍多 $180^{\circ}$，求这个多边形的内角和与边数。
答案
设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$。
根据题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 4 × 360^{\circ} + 180^{\circ}$
展开并化简得：
$180n - 360 = 1440 + 180$
$180n = 1980$
$n = 11$
将$n = 11$代入内角和公式，得内角和为：
$(11 - 2) × 180^{\circ} = 1620^{\circ}$
答：这个多边形的内角和为$1620^{\circ}$，边数为$11$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$。
根据题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 4 × 360^{\circ} + 180^{\circ}$
展开并化简得：
$180n - 360 = 1440 + 180$
$180n = 1980$
$n = 11$
将$n = 11$代入内角和公式，得内角和为：
$(11 - 2) × 180^{\circ} = 1620^{\circ}$
答：这个多边形的内角和为$1620^{\circ}$，边数为$11$。
14. (★★)一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为 $320^{\circ}$。
(1)求这个正多边形的边数与内角和的度数；
(2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？
(1)求这个正多边形的边数与内角和的度数；
(2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？
答案
(1)∵多边形外角和为360°，除去一个外角后剩余外角和为320°，∴被除去的外角为360°-320°=40°.
∵正多边形每个外角相等，设边数为n，则每个外角为360°/n，∴360°/n=40°，解得n=9.
内角和=(n-2)×180°=(9-2)×180°=1260°.
(2)要使多边形具有稳定性，需将其分割为三角形，n边形至少需添加(n-3)条线段.
当n=9时，9-3=6，∴至少添加6条线段.
(1)边数为9，内角和为1260°；(2)至少添加6条线段.
∵正多边形每个外角相等，设边数为n，则每个外角为360°/n，∴360°/n=40°，解得n=9.
内角和=(n-2)×180°=(9-2)×180°=1260°.
(2)要使多边形具有稳定性，需将其分割为三角形，n边形至少需添加(n-3)条线段.
当n=9时，9-3=6，∴至少添加6条线段.
(1)边数为9，内角和为1260°；(2)至少添加6条线段.
