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15. (★★)如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点 $E$，$AF ⊥ CD$于点 $F$。若 $AE = 4$，$AF = 6$，且$□ ABCD$的周长为 $40$，则$□ ABCD$的面积为【】
A.$48$
B.$36$
C.$40$
D.$24$
A.$48$
B.$36$
C.$40$
D.$24$
答案
A
解析
设平行四边形$ABCD$的边$BC=x$，$CD=y$。
∵平行四边形周长为40，∴$2(x+y)=40$，即$x+y=20$。
∵$AE⊥BC$，$AF⊥CD$，$AE=4$，$AF=6$，
∴平行四边形面积$S=BC·AE=CD·AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立$\begin{cases}x+y=20\\2x=3y\end{cases}$，解得$x=12$，$y=8$。
∴面积$S=4x=4×12=48$。
∵平行四边形周长为40，∴$2(x+y)=40$，即$x+y=20$。
∵$AE⊥BC$，$AF⊥CD$，$AE=4$，$AF=6$，
∴平行四边形面积$S=BC·AE=CD·AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立$\begin{cases}x+y=20\\2x=3y\end{cases}$，解得$x=12$，$y=8$。
∴面积$S=4x=4×12=48$。
16. (★★)如图，在$△ ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，$△ ABD$，$△ ACE$，$△ BCF$都是等边三角形，有下列结论：①$AB ⊥ AC$；②四边形 $AEFD$是平行四边形；③$∠ DFE = 110^{\circ}$；④$S_{\mathrm{四边形}AEFD}= 1$。其中正确的有【】
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
A
解析
①在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∵3²+4²=5²，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，即AB⊥AC，①正确；
②△ABD、△ACE、△BCF为等边三角形，AD=AB=3，AE=AC=4，∠BAD=∠CAE=60°，∠DAE=360°-60°-90°-60°=150°。由△DBF≌△ABC（SAS）得DF=AC=4=AE，但AD=3，EF通过余弦定理计算得√(57+12√3)≠3，且AE与DF不平行，故四边形AEFD不是平行四边形，②错误；
③∠DFE无法通过已知条件得出为110°，③错误；
④利用坐标法及鞋带公式计算四边形AEFD面积远大于1，④错误。
②△ABD、△ACE、△BCF为等边三角形，AD=AB=3，AE=AC=4，∠BAD=∠CAE=60°，∠DAE=360°-60°-90°-60°=150°。由△DBF≌△ABC（SAS）得DF=AC=4=AE，但AD=3，EF通过余弦定理计算得√(57+12√3)≠3，且AE与DF不平行，故四边形AEFD不是平行四边形，②错误；
③∠DFE无法通过已知条件得出为110°，③错误；
④利用坐标法及鞋带公式计算四边形AEFD面积远大于1，④错误。
17. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD = CB$，$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，垂足分别为 $E$，$F$，$AE = CF$。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；
(2)若 $AE = 5$，$EF = 2$，$DF = 10$，求四边形 $ABCD$ 的周长。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；
(2)若 $AE = 5$，$EF = 2$，$DF = 10$，求四边形 $ABCD$ 的周长。
答案
(1)见证明；(2)26+10√5。
解析
(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°。在Rt△AED和Rt△CFB中，∵AD=CB，AE=CF，∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL)。∴∠ADE=∠CBF，∴AD//BC。又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。由Rt△AED≌Rt△CFB得DE=BF。∵∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF，BE=DF（DE=BF⇒BD-DE=BD-BF⇒BE=DF）。∵DF=10，∴BE=10。在Rt△ABE中，AE=5，BE=10，AB=√(5²+10²)=5√5。∵EF=2，∴BF=BE+EF=12，DE=BF=12。在Rt△AED中，AE=5，DE=12，AD=√(5²+12²)=13。∴周长=2(AB+AD)=2(5√5+13)=26+10√5。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。由Rt△AED≌Rt△CFB得DE=BF。∵∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF，BE=DF（DE=BF⇒BD-DE=BD-BF⇒BE=DF）。∵DF=10，∴BE=10。在Rt△ABE中，AE=5，BE=10，AB=√(5²+10²)=5√5。∵EF=2，∴BF=BE+EF=12，DE=BF=12。在Rt△AED中，AE=5，DE=12，AD=√(5²+12²)=13。∴周长=2(AB+AD)=2(5√5+13)=26+10√5。
18. (★★)如图，在$△ ABC$中，点 $D$ 在 $BC$上，$BD = AB$，$BM ⊥ AD$于点 $M$，$N$ 是 $AC$ 的中点，连接 $MN$，若 $MN = 5$，则 $CD$ 的长为【】
A.$2.5$
B.$5$
C.$7.5$
D.$10$
A.$2.5$
B.$5$
C.$7.5$
D.$10$
答案
D
解析
∵BD=AB，BM⊥AD，∴M为AD中点（等腰三角形三线合一）。
∵N是AC中点，∴MN是△ADC的中位线（三角形中位线定义）。
∵三角形中位线等于第三边的一半，∴MN=1/2 CD。
∵MN=5，∴CD=2MN=10。
∵N是AC中点，∴MN是△ADC的中位线（三角形中位线定义）。
∵三角形中位线等于第三边的一半，∴MN=1/2 CD。
∵MN=5，∴CD=2MN=10。
19. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$ 分别是 $AD$，$BC$，$BD$ 的中点，若 $AB = CD$，$∠ EGF = 124^{\circ}$，则$∠ GEF$的度数为。
答案
28
解析
∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG=1/2AB，EG//AB。
∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴FG=1/2CD，FG//CD。
∵AB=CD，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形。
∵∠EGF=124°，∴∠GEF=(180°-∠EGF)/2=(180°-124°)/2=28°。
∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴FG=1/2CD，FG//CD。
∵AB=CD，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形。
∵∠EGF=124°，∴∠GEF=(180°-∠EGF)/2=(180°-124°)/2=28°。
20. (★★)如图，在$△ ABF$中，$E$ 是 $AB$ 的中点，延长 $BF$ 至点 $D$，使得 $DF = BF$，连接 $AD$，延长 $EF$ 至点 $C$，使得 $CF = AD$，连接 $CD$。
(1)求证：四边形 $AFCD$ 为平行四边形；
(2)连接 $AC$ 交 $DB$ 于点 $O$，若 $CE ⊥ DB$，$EF = 1$，$AE = \sqrt{10}$，求 $AC$ 的长。
(1)求证：四边形 $AFCD$ 为平行四边形；
(2)连接 $AC$ 交 $DB$ 于点 $O$，若 $CE ⊥ DB$，$EF = 1$，$AE = \sqrt{10}$，求 $AC$ 的长。
答案
(1) 见证明过程；(2) AC=5。
解析
(1) 证明：∵E是AB中点，DF=BF，∴F是BD中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF//AD，且EF=1/2AD。∵CF=AD，且C在EF延长线上，∴CF//AD，∴四边形AFCD是平行四边形（一组对边平行且相等）。
(2) 解：∵EF是△ABD中位线，∴AD=2EF=2×1=2。∵CE⊥DB，EF//AD，∴AD⊥DB，∠ADB=90°。在Rt△ABD中，AE=√10，E是AB中点，∴AB=2AE=2√10。由勾股定理得BD²=AB²-AD²=(2√10)²-2²=40-4=36，∴BD=6。∵F是BD中点，∴DF=BD/2=3。∵四边形AFCD是平行四边形，∴AC与DF互相平分，∴DO=DF/2=3/2。在Rt△ADO中，AO=√(AD²+DO²)=√(2²+(3/2)²)=√(4+9/4)=5/2，∴AC=2AO=5。
(2) 解：∵EF是△ABD中位线，∴AD=2EF=2×1=2。∵CE⊥DB，EF//AD，∴AD⊥DB，∠ADB=90°。在Rt△ABD中，AE=√10，E是AB中点，∴AB=2AE=2√10。由勾股定理得BD²=AB²-AD²=(2√10)²-2²=40-4=36，∴BD=6。∵F是BD中点，∴DF=BD/2=3。∵四边形AFCD是平行四边形，∴AC与DF互相平分，∴DO=DF/2=3/2。在Rt△ADO中，AO=√(AD²+DO²)=√(2²+(3/2)²)=√(4+9/4)=5/2，∴AC=2AO=5。
