1. (★) 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ DAC = 30°$，$BD = 6$，则菱形 $ABCD$ 的面积为 【 】

A.$8$
B.$8\sqrt{3}$
C.$16\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$

D

在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，由菱形性质知AC⊥BD，且AO=OC，BO=OD=BD/2=3。
∵∠DAC=30°，在Rt△AOD中，∠DAO=30°，OD=3，tan∠DAO=OD/AO，即tan30°=3/AO，解得AO=3√3。
∴AC=2AO=6√3。
菱形面积=AC×BD/2=6√3×6/2=18√3。

2. (★★) 如图，$□ OABC$ 三个顶点坐标分别是 $O(0,0)$，$A(2,2)$，$C(4,0)$，则点 $B$ 的坐标为 【 】

A.$(6,2)$
B.$(5,2)$
C.$(4,2)$
D.$(2,6)$
]

A

在平行四边形 $□OABC$ 中，$OA$ 与 $BC$ 平行且相等，$OC$ 与 $AB$ 平行且相等。已知 $O(0,0)$，$C(4,0)$，则 $OC$ 在 $x$ 轴上，长度为 $4$，所以 $AB$ 也平行于 $x$ 轴且长度为 $4$。点 $A(2,2)$，$AB$ 平行于 $x$ 轴，故点 $B$ 的纵坐标与点 $A$ 相同为 $2$，横坐标为 $2 + 4 = 6$，所以点 $B$ 的坐标为 $(6,2)$。

3. (★★) 如图，$E$ 是 $□ ABCD$ 的边 $BC$ 的中点，连接 $AE$ 并延长 $AE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$。
(1) 连接 $AC$，$BF$，若 $AE = \frac{1}{2}BC$，求证：四边形 $ABFC$ 为矩形；
(2) 在 (1) 的条件下，当 $△ ABC$ 再满足一个什么条件时，四边形 $ABFC$ 为正方形？
]

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC$，即$AB// DF$，
∴$∠ BAE=∠ CFE$，$∠ ABE=∠ FCE$。
∵$E$是$BC$中点，∴$BE=CE$。
在$△ ABE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CFE\\∠ ABE=∠ FCE\\BE=CE\end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ FCE(AAS)$，
∴$AE=EF$，$AB=FC$。
∵$AB// FC$且$AB=FC$，
∴四边形$ABFC$是平行四边形。
∵$AE=\frac{1}{2}BC$，$AE=EF$，
∴$AF=AE+EF=2AE=BC$。
∵平行四边形$ABFC$的对角线$AF=BC$，
∴四边形$ABFC$为矩形。
(2) 当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$ABFC$为正方形。

4. (★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，四边形 $ABDE$ 是平行四边形，$AC$，$DE$ 相交于点 $O$。
(1) 求证：四边形 $ADCE$ 是矩形；
(2) 若 $∠ AOE = 90°$，$AE = 2$，求矩形 $ADCE$ 对角线的长。
]

(2) 2√2

(1) 证明：
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，BD=DC。
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BD，AE=BD。
∵BD=DC，∴AE=DC，又AE//DC，∴四边形ADCE是平行四边形。
∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形。
(2) ∵四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，AO=OC=1/2AC，DO=OE=1/2DE，∴AO=OE。
∵∠AOE=90°，∴△AOE是等腰直角三角形。
设AO=OE=x，由勾股定理得：AO²+OE²=AE²，即x²+x²=2²，2x²=4，x²=2，x=√2。
∴AC=2AO=2√2，即矩形ADCE对角线长为2√2。