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16. (★)某排球队 6 名场上队员的身高（单位：cm）是 180,182,184,186,190,194。现用一名身高为 188 cm 的队员换下场上身高为 194 cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高【 】
A.平均数变大，方差变大
B.平均数变大，方差变小
C.平均数变小，方差变大
D.平均数变小，方差变小
A.平均数变大，方差变大
B.平均数变大，方差变小
C.平均数变小，方差变大
D.平均数变小，方差变小
答案
D
解析
原数据平均数$\bar{x}_{原}=\frac{180 + 182+184 + 186+190+194}{6}=186$，
方差$s_{原}^{2}=\frac{1}{6}×[(180 - 186)^{2}+(182 - 186)^{2}+(184 - 186)^{2}+(186 - 186)^{2}+(190 - 186)^{2}+(194 - 186)^{2}]=\frac{68}{3}$。
换人后数据平均数$\bar{x}_{新}=\frac{180+182 + 184+186+190+188}{6}=185$，
方差$s_{新}^{2}=\frac{1}{6}×[(180 - 185)^{2}+(182 - 185)^{2}+(184 - 185)^{2}+(186 - 185)^{2}+(190 - 185)^{2}+(188 - 185)^{2}] = \frac{38}{3}$。
因为$185＜186$，$\frac{38}{3}＜\frac{68}{3}$，所以平均数变小，方差变小。
方差$s_{原}^{2}=\frac{1}{6}×[(180 - 186)^{2}+(182 - 186)^{2}+(184 - 186)^{2}+(186 - 186)^{2}+(190 - 186)^{2}+(194 - 186)^{2}]=\frac{68}{3}$。
换人后数据平均数$\bar{x}_{新}=\frac{180+182 + 184+186+190+188}{6}=185$，
方差$s_{新}^{2}=\frac{1}{6}×[(180 - 185)^{2}+(182 - 185)^{2}+(184 - 185)^{2}+(186 - 185)^{2}+(190 - 185)^{2}+(188 - 185)^{2}] = \frac{38}{3}$。
因为$185＜186$，$\frac{38}{3}＜\frac{68}{3}$，所以平均数变小，方差变小。
17. (★)如果 3,2,x,5 的平均数是 4，那么这组数据的方差为。
答案
2.5
解析
由平均数为4，得(3+2+x+5)/4=4，解得x=6。数据为3,2,6,5。方差=[(3-4)²+(2-4)²+(6-4)²+(5-4)²]/4=(1+4+4+1)/4=10/4=2.5
18. (★★)已知 5 个数据 $ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} $ 的平均数为 3，方差是 4；另外 5 个数据 $ x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10} $ 的平均数也是 3，方差是 6。把这两组数据合在一起得到 10 个数据 $ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10} $，则这 10 个数据的方差为。
答案
（此处应填数字，但原题未给选项，按照要求应保留空框或根据实际情况填写，由于为填空题题型要求，这里用文字描述答案）
方框中应填：5。
方框中应填：5。
解析
首先，计算10个数据的平均数。由于两组数据的平均数都是3，所以合并后的10个数据的平均数仍为3。
接着，使用方差的计算公式，方差的计算公式为：
$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^{2}$，
其中，$n$ 是数据的数量，$x_{i}$ 是每一个数据，$\bar{x}$ 是数据的平均数，
也可以将其变形为：
$s^{2} =\frac{1}{n} [ ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2} ) - n\bar{x}^{2} ]$，
对于第一组5个数据，其方差为4，平均数为3，所以：
$\frac{1}{5}[ ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{5}^{2} ) - 5 × 3^{2} ] = 4$，
得到：
$( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{5}^{2} ) = 4 × 5 + 5 × 3^{2} = 65$，
对于第二组5个数据，其方差为6，平均数为3，所以：
$\frac{1}{5}[ ( x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + \ldots + x_{10}^{2} ) - 5 × 3^{2} ] = 6$，
得到：
$( x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + \ldots + x_{10}^{2} ) = 6 × 5 + 5 × 3^{2} = 75$，
对于合并后的10个数据，其方差为：
$\frac{1}{10}[ ( 65 + 75 ) - 10 × 3^{2} ] = \frac{1}{10}[ 140 - 90 ] = 5$。
所以这10个数据的方差为5。
接着，使用方差的计算公式，方差的计算公式为：
$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^{2}$，
其中，$n$ 是数据的数量，$x_{i}$ 是每一个数据，$\bar{x}$ 是数据的平均数，
也可以将其变形为：
$s^{2} =\frac{1}{n} [ ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2} ) - n\bar{x}^{2} ]$，
对于第一组5个数据，其方差为4，平均数为3，所以：
$\frac{1}{5}[ ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{5}^{2} ) - 5 × 3^{2} ] = 4$，
得到：
$( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{5}^{2} ) = 4 × 5 + 5 × 3^{2} = 65$，
对于第二组5个数据，其方差为6，平均数为3，所以：
$\frac{1}{5}[ ( x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + \ldots + x_{10}^{2} ) - 5 × 3^{2} ] = 6$，
得到：
$( x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + \ldots + x_{10}^{2} ) = 6 × 5 + 5 × 3^{2} = 75$，
对于合并后的10个数据，其方差为：
$\frac{1}{10}[ ( 65 + 75 ) - 10 × 3^{2} ] = \frac{1}{10}[ 140 - 90 ] = 5$。
所以这10个数据的方差为5。
19. (★★)某学校进行了以“消防安全教育”为主题的安全教育学习，该校为了解全校共 1500 名学生对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试。现随机抽取甲、乙两班各 15 名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班 15 名学生测试成绩分别为 77,85,90,95,99,84,96,100,88,90,90,92,98,96,100；
乙班 15 名学生测试成绩分别为 84,79,82,87,89,92,89,94,90,100,88,91,93,95,97。
【分析数据】
【应用数据】
(1) 根据以上信息，可以求出：a=，b=，c=；
(2) 若规定测试成绩 95 及以上为优秀，请你根据甲、乙两班的测试成绩估计参加消防知识测试的 1500 名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3) 结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析。
【收集数据】
甲班 15 名学生测试成绩分别为 77,85,90,95,99,84,96,100,88,90,90,92,98,96,100；
乙班 15 名学生测试成绩分别为 84,79,82,87,89,92,89,94,90,100,88,91,93,95,97。
【分析数据】
【应用数据】
(1) 根据以上信息，可以求出：a=，b=，c=；
(2) 若规定测试成绩 95 及以上为优秀，请你根据甲、乙两班的测试成绩估计参加消防知识测试的 1500 名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3) 结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析。
答案
(1) 92；90；89
(2) 甲班优秀人数：7人；乙班优秀人数：3人。样本优秀率：(7+3)/30=1/3。估计1500名学生中优秀人数：1500×(1/3)=500人。
(3) 甲班平均数92高于乙班90，整体成绩较好；乙班方差29.3小于甲班41.3，成绩更稳定。
(2) 甲班优秀人数：7人；乙班优秀人数：3人。样本优秀率：(7+3)/30=1/3。估计1500名学生中优秀人数：1500×(1/3)=500人。
(3) 甲班平均数92高于乙班90，整体成绩较好；乙班方差29.3小于甲班41.3，成绩更稳定。
20. (★★★)若 $ a_{1},a_{2},···,a_{n} $ 这 n 个数据的平均数是 $ \overline{x} $，方差是 $ s^{2} $，则：
(1) 数据 $ a_{1}+1,a_{2}+1,···,a_{n}+1 $ 的平均数是，方差是；
(2) 数据 $ 2a_{1},2a_{2},···,2a_{n} $ 的平均数是，方差是；
(3) 数据 $ 2a_{1}+1,2a_{2}+1,···,2a_{n}+1 $ 的平均数是，方差是；
(4) 数据 $ ka_{1}+b,ka_{2}+b,···,ka_{n}+b $ 的平均数是，方差是。
(1) 数据 $ a_{1}+1,a_{2}+1,···,a_{n}+1 $ 的平均数是，方差是；
(2) 数据 $ 2a_{1},2a_{2},···,2a_{n} $ 的平均数是，方差是；
(3) 数据 $ 2a_{1}+1,2a_{2}+1,···,2a_{n}+1 $ 的平均数是，方差是；
(4) 数据 $ ka_{1}+b,ka_{2}+b,···,ka_{n}+b $ 的平均数是，方差是。
答案
(1) $\overline{x} + 1$，$s^2$；
(2) $2\overline{x}$，$4s^2$；
(3) $2\overline{x} + 1$，$4s^2$；
(4) $k\overline{x} + b$，$k^2 s^2$。
(2) $2\overline{x}$，$4s^2$；
(3) $2\overline{x} + 1$，$4s^2$；
(4) $k\overline{x} + b$，$k^2 s^2$。
解析
(1) 设数据 $a_1, a_2, ···, a_n$ 的平均数为 $\overline{x}$，即 $\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i$。
数据 $a_1 + 1, a_2 + 1, ···, a_n + 1$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i + 1) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + 1 = \overline{x} + 1$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (a_i + 1) - (\overline{x} + 1) )^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = s^2$。
(2) 数据 $2a_1, 2a_2, ···, 2a_n$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2a_i = 2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = 2\overline{x}$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2a_i - 2\overline{x})^2 = 4 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = 4s^2$。
(3) 数据 $2a_1 + 1, 2a_2 + 1, ···, 2a_n + 1$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2a_i + 1) = 2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + 1 = 2\overline{x} + 1$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (2a_i + 1) - (2\overline{x} + 1) )^2 = 4 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = 4s^2$。
(4) 数据 $ka_1 + b, ka_2 + b, ···, ka_n + b$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ka_i + b) = k · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + b = k\overline{x} + b$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (ka_i + b) - (k\overline{x} + b) )^2 = k^2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = k^2 s^2$。
数据 $a_1 + 1, a_2 + 1, ···, a_n + 1$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i + 1) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + 1 = \overline{x} + 1$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (a_i + 1) - (\overline{x} + 1) )^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = s^2$。
(2) 数据 $2a_1, 2a_2, ···, 2a_n$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2a_i = 2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = 2\overline{x}$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2a_i - 2\overline{x})^2 = 4 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = 4s^2$。
(3) 数据 $2a_1 + 1, 2a_2 + 1, ···, 2a_n + 1$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2a_i + 1) = 2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + 1 = 2\overline{x} + 1$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (2a_i + 1) - (2\overline{x} + 1) )^2 = 4 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = 4s^2$。
(4) 数据 $ka_1 + b, ka_2 + b, ···, ka_n + b$ 的平均数为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ka_i + b) = k · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + b = k\overline{x} + b$，
方差为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( (ka_i + b) - (k\overline{x} + b) )^2 = k^2 · \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a_i - \overline{x})^2 = k^2 s^2$。
