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9. (★)已知一组数据 13,8,10,x,6 的众数是 8，那么这组数据的方差是【 】
A.4.8
B.5.6
C.6
D.5
A.4.8
B.5.6
C.6
D.5
答案
B
解析
根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数。已知这组数据13, 8, 10, x, 6的众数是8，所以$x = 8$。
这组数据为13, 8, 10, 8, 6，其平均数$\bar{x}=\frac{13 + 8+10 + 8+6}{5}=\frac{45}{5}=9$。
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+···+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$，可得这组数据的方差$s^{2}=\frac{1}{5}[(13 - 9)^{2}+2×(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(6 - 9)^{2}]=\frac{1}{5}(16 + 2+1 + 9)= \frac{28}{5}=5.6$。
这组数据为13, 8, 10, 8, 6，其平均数$\bar{x}=\frac{13 + 8+10 + 8+6}{5}=\frac{45}{5}=9$。
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+···+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$，可得这组数据的方差$s^{2}=\frac{1}{5}[(13 - 9)^{2}+2×(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(6 - 9)^{2}]=\frac{1}{5}(16 + 2+1 + 9)= \frac{28}{5}=5.6$。
10. (★)小丽进行投掷标枪训练，共投掷 10 次，前 9 次标枪的落点如图所示，此时这组成绩(单位：m)的平均数是 20 m，方差是 $ s_{1}^{2} $。若第 10 次投掷标枪的落点恰好在 20 m 线上，且投掷结束后这组成绩的方差是 $ s_{2}^{2} $，则 $ s_{1}^{2} $ $ s_{2}^{2} $。(填“＞”“=”或“＜”)
答案
＞
解析
设前9次成绩为$x_{1},x_{2},...,x_{9}$，平均数$\bar{x}_{1}=20m$，则总和为$9×20=180m$。第10次成绩$x_{10}=20m$，10次成绩总和为$180+20=200m$，平均数$\bar{x}_{2}=20m$。设前9次成绩与平均数差的平方和为$S$，则$s_{1}^{2}=\frac{S}{9}$，$s_{2}^{2}=\frac{S+(20-20)^{2}}{10}=\frac{S}{10}$。因为$\frac{S}{9}＞\frac{S}{10}$，所以$s_{1}^{2}＞s_{2}^{2}$。
11. (★★)一组数据共 4 个数，众数为 6，中位数为 5，平均数为 4，则这组数据的方差为。
答案
6
解析
设这4个数从小到大排列为a,b,c,d。由中位数为5，得(b+c)/2=5，即b+c=10；由平均数为4，得a+b+c+d=16；众数为6，故6至少出现2次，且因总和限制，6只能出现2次，即c=d=6。则b=10-c=4，a=16-b-c-d=0。数据为0,4,6,6。方差s²=[(0-4)²+(4-4)²+(6-4)²+(6-4)²]/4=(16+0+4+4)/4=24/4=6。
12. (★★)为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出 5 名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛。两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如下图所示。
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) 将表格补充完整；
(2) 已知初中部决赛成绩的方差为 $ s_{初}^{2}=160 $，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定。
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) 将表格补充完整；
(2) 已知初中部决赛成绩的方差为 $ s_{初}^{2}=160 $，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定。
答案
(1) 小学部：
平均数：$\frac{1}{5} × (75 + 80 + 85 + 85 + 100) = \frac{1}{5} × 425 = 85$，
中位数：85，
众数：85。
初中部：
平均数：85，
中位数：80，
众数：100。
补充表格：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| -- | -- | -- | -- |
| 小学部 | 85 | 85 | 85 |
| 初中部 | 85 | 80 | 100 |
(2) 小学部方差计算：
$s_{小}^2 = \frac{1}{5} × [(75 - 85)^2 + (80 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (100 - 85)^2]$
$= \frac{1}{5} × [100 + 25 + 0 + 0 + 225] = \frac{1}{5} × 350 = 70$，
因为 $s_{小}^2 = 70 ＜ s_{初}^2 = 160$，
所以小学部代表队选手成绩较为稳定。
平均数：$\frac{1}{5} × (75 + 80 + 85 + 85 + 100) = \frac{1}{5} × 425 = 85$，
中位数：85，
众数：85。
初中部：
平均数：85，
中位数：80，
众数：100。
补充表格：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| -- | -- | -- | -- |
| 小学部 | 85 | 85 | 85 |
| 初中部 | 85 | 80 | 100 |
(2) 小学部方差计算：
$s_{小}^2 = \frac{1}{5} × [(75 - 85)^2 + (80 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (100 - 85)^2]$
$= \frac{1}{5} × [100 + 25 + 0 + 0 + 225] = \frac{1}{5} × 350 = 70$，
因为 $s_{小}^2 = 70 ＜ s_{初}^2 = 160$，
所以小学部代表队选手成绩较为稳定。
13. (★)一组数据 3,a,4,6,7 的平均数是 5，那么这组数据的离差平方和是【 】
A.10
B.$ \sqrt{10} $
C.2
D.$ \sqrt{2} $
A.10
B.$ \sqrt{10} $
C.2
D.$ \sqrt{2} $
答案
A
解析
先根据平均数的定义求出$a$的值，再计算这组数据的离差平方和。
已知数据$3,a,4,6,7$的平均数是$5$，根据平均数的计算公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$（其中$\bar{x}$表示平均数，$x_{1},x_{2},···,x_{n}$表示数据，$n$表示数据的个数）可得：
$\frac{3 + a + 4 + 6 + 7}{5}=5$
$3 + a + 4 + 6 + 7 = 25$
$a = 25 - (3 + 4 + 6 + 7)$
$a = 5$
离差平方和是指每个数据与平均数的差的平方的总和，即$s = (3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (7 - 5)^2$
$s=(-2)^2+0^2+(-1)^2+1^2+2^2$
$s = 4 + 0 + 1 + 1 + 4$
$s = 10$
已知数据$3,a,4,6,7$的平均数是$5$，根据平均数的计算公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$（其中$\bar{x}$表示平均数，$x_{1},x_{2},···,x_{n}$表示数据，$n$表示数据的个数）可得：
$\frac{3 + a + 4 + 6 + 7}{5}=5$
$3 + a + 4 + 6 + 7 = 25$
$a = 25 - (3 + 4 + 6 + 7)$
$a = 5$
离差平方和是指每个数据与平均数的差的平方的总和，即$s = (3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (7 - 5)^2$
$s=(-2)^2+0^2+(-1)^2+1^2+2^2$
$s = 4 + 0 + 1 + 1 + 4$
$s = 10$
14. (★★)两组数据 m,6,n 与 1,m,2n,7 的平均数都是 8，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是。
答案
106
解析
由题意得，第一组数据总和为3×8=24，即m+6+n=24，故m+n=18①；第二组数据总和为4×8=32，即1+m+2n+7=32，故m+2n=24②。联立①②，②-①得n=6，代入①得m=12。合并后的数据为1,6,6,7,12,12,12，平均数为(24+32)÷7=8。离差平方和为(1-8)²+(6-8)²×2+(7-8)²+(12-8)²×3=49+8+1+48=106。
15. (★)某校八年级学生的平均年龄为 14 岁，年龄的方差为 3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是【 】
A.平均年龄为 14 岁，方差改变
B.平均年龄为 16 岁，方差不变
C.平均年龄为 16 岁，方差改变
D.平均年龄为 14 岁，方差不变
A.平均年龄为 14 岁，方差改变
B.平均年龄为 16 岁，方差不变
C.平均年龄为 16 岁，方差改变
D.平均年龄为 14 岁，方差不变
答案
B
解析
两年后，每个学生的年龄都增加2岁，平均年龄增加2岁，变为14+2=16岁；方差反映数据的波动程度，每个数据增加相同数值，波动程度不变，方差不变。
