1. 【观察】 $ ( 2+3 )^{2}-2^{2}=(2+3+2)×(2+3-2)=7× 3 $ $ ( 4+3 )^{2}-4^{2}=(4+3+4)×(4+ 3-4)=1 1 ×3 $ $ ( 6+3 )^{2}-6^{2}=(6+3+6)×(6+3-6)=1 5 ×3 \dots \dots $
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除。
【验证】（1）若这个偶数是10，通过计算说明13与10的平方差能被3整除；
(2) 若设这个偶数为 2n，试说明比 2n大3的数与 2n的平方差能被3整除；
【延伸】（3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。

1. 解：(1) $13^{2}-10^{2}=(10+3+10)×(10+3-10)=23×3$，$\therefore$能被3整除。
(2) $(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3)$，$\therefore$能被3整除。
(3)设这个整数为$n$，比$n$大9的数为$n+9$。
$(n+9)^{2}-n^{2}=(n+9+n)(n+9-n)=9(2n+9)$，
$\therefore$能被9整除。

2. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“美好数”，例如： $ 1 2=4^{2}-2^{2} $ $ 2 0=6^{2}-4^{2} $ $ 2 8=8^{2}-6^{2} $ ，我们称12，20，28这三个数为“美好数”。
(1) 40 ___ “美好数”，44 ___ “美好数”。（填“是”或“不是”）
(2) 设两个连续偶数是 2n和 2n+2（其中 n取正整数），由这两个连续偶数构造的“美好数”是8的倍数吗？为什么？
(3) 如图4-3-1，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为200，求阴影部分的面积。

2. 解：(1)不是；是
(2)由这两个连续偶数构造的“美好数”不是8的倍数。理由：$\because (2n+2)^{2}-(2n)^{2}$
$=(2n+2+2n)(2n+2-2n)$
$=2(4n+2)$
$=4(2n+1)$，
$\therefore$由这两个连续偶数构造的“美好数”不是8的倍数。
(3) $(4^{2}-2^{2})+(8^{2}-6^{2})+(12^{2}-10^{2})+\dots+(200^{2}-198^{2})$
$=4×3+4×7+4×11+\dots+4×199$
$=4×\frac{3+199}{2}×50$
$=20200$。