3. 如图，在数轴上点 $ M $，$ N $ 分别表示数 $ 2,-2 x+1 $，则 $ x $ 的取值范围是.

$x ＜ -\frac{1}{2}$

由数轴可知，点$M$在点$N$的左侧，所以$2 ＜ -2x + 1$。
解不等式：
$2 ＜ -2x + 1$
移项得：$2 - 1 ＜ -2x$
即：$1 ＜ -2x$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变：$x ＜ -\frac{1}{2}$

4. 写出一个 $ x $ 的值，使 $ 2 x-3 $ 大于 $ -3 x $，则这个 $ x $ 的值可以是.

解：由题意得$2x - 3 ＞ -3x$，
移项，得$2x + 3x ＞ 3$，
合并同类项，得$5x ＞ 3$，
系数化为$1$，得$x ＞ \frac{3}{5}$，
所以$x$的值可以是$1$（答案不唯一，只要大于$\frac{3}{5}$即可）。
故答案为：$1$（答案不唯一）

5. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)$ 3 x-9＜0 $；
(2)$ -2 x+8 ≤ 0 $；
(3)$ 1+x＞6-4 x $；
(4)$ 4(x+1) ≥ x+2 $.

(1) $3x - 9 ＜ 0$
解：$3x ＜ 9$
$x ＜ 3$
数轴表示：（数轴上3处空心圆圈，向左画线）
(2) $-2x + 8 ≤ 0$
解：$-2x ≤ -8$
$x ≥ 4$
数轴表示：（数轴上4处实心圆点，向右画线）
(3) $1 + x ＞ 6 - 4x$
解：$x + 4x ＞ 6 - 1$
$5x ＞ 5$
$x ＞ 1$
数轴表示：（数轴上1处空心圆圈，向右画线）
(4) $4(x + 1) ≥ x + 2$
解：$4x + 4 ≥ x + 2$
$4x - x ≥ 2 - 4$
$3x ≥ -2$
$x ≥ -\frac{2}{3}$
数轴表示：（数轴上$-\frac{2}{3}$处实心圆点，向右画线）

6. 解下列不等式：
(1)$ \frac{x-1}{3}＜\frac{x+1}{2}+1 $；
(2)$ \frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}＞2 $.

(1)解：去分母，得$2(x-1)＜3(x+1)+6$
去括号，得$2x-2＜3x+3+6$
移项，得$2x-3x＜3+6+2$
合并同类项，得$-x＜11$
系数化为1，得$x＞-11$
(2)解：去分母，得$2x+(x+1)＞8$
去括号，得$2x+x+1＞8$
移项，得$2x+x＞8-1$
合并同类项，得$3x＞7$
系数化为1，得$x＞\frac{7}{3}$

7. $ x $ 取什么值时，代数式 $ 3+\frac{x-1}{4} $ 的值不小于 $ 2-\frac{3(x+1)}{8} $ 的值？
拓展与延伸

根据题意列出不等式：
$3 + \frac{x - 1}{4} ≥ 2 - \frac{3(x + 1)}{8}$，
去分母，两边同时乘以8（即两个分母的最小公倍数）：
$8 × 3 + 8 × \frac{x - 1}{4} ≥ 8 × 2 - 3(x + 1)$，
$24 + 2(x - 1) ≥ 16 - 3(x + 1)$，
去括号：
$24 + 2x - 2 ≥ 16 - 3x - 3$，
移项并合并同类项：
$2x + 3x ≥ 16 - 3 - 24 + 2$，
$5x ≥ -9$，
系数化为1：
$x ≥ -\frac{9}{5}$，
故当 $x ≥ -\frac{9}{5}$ 时，代数式 $3 + \frac{x - 1}{4}$ 的值不小于 $2 - \frac{3(x + 1)}{8}$ 的值。

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 5 x+3 m-3=2 x+9 $ 的解是负数.
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，解关于 $ y $ 的不等式 $ y-1＞\frac{m y+1}{3} $.

(1)解方程$5x + 3m - 3 = 2x + 9$，移项得$5x - 2x = 9 + 3 - 3m$，即$3x = 12 - 3m$，解得$x = 4 - m$。
因为方程的解是负数，所以$4 - m ＜ 0$，解得$m ＞ 4$。
(2)解不等式$y - 1 ＞ \frac{my + 1}{3}$，两边同乘3得$3(y - 1) ＞ my + 1$，展开得$3y - 3 ＞ my + 1$，移项得$3y - my ＞ 1 + 3$，即$(3 - m)y ＞ 4$。
由(1)知$m ＞ 4$，则$3 - m ＜ 0$，不等式两边同除以$3 - m$（负数），不等号方向改变，得$y ＜ \frac{4}{3 - m}$，即$y ＜ -\frac{4}{m - 3}$。
(1)$m ＞ 4$；(2)$y ＜ -\frac{4}{m - 3}$