25. （本小题满分 13 分）已知抛物线 $y = mx^{2}+2mx + n(m,n$ 为常数，$m ＞ 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$，$AB = 4$.
（1）求 $3m + n$ 的值.
（2）如图，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$，求证：$BE = 2DE$.
（3）设 $M$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的动点（不与点 $C$ 重合），过点 $M$ 作 $MN// x$ 轴，交直线 $AC$ 于点 $N$.由线段 $MN$ 长的不同取值，试探究符合条件的点 $M$ 的数量.

（1）0；（2）见解析；（3）当$0 ＜ MN ＜ \frac{9}{4}$时3个，$MN = \frac{9}{4}$时2个，$\frac{9}{4} ＜ MN ＜ 4$时1个，$MN ≥ 4$时0个。

（1）抛物线 $ y = mx^2 + 2mx + n $ 与x轴交于A、B两点，设A$(x_1,0)$，B$(x_2,0)$，$x_1 ＜ x_2$。由韦达定理得$x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = \frac{n}{m}$。
$AB = x_2 - x_1 = 4$，则$(x_2 - x_1)^2 = 16$，即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$。
代入得$4 - 4 · \frac{n}{m} = 16$，解得$n = -3m$。
故$3m + n = 3m - 3m = 0$。
（2）由（1）知$n = -3m$，抛物线为$y = mx^2 + 2mx - 3m$。
令$y = 0$，解得$x = -3$或$x = 1$，则A$(-3,0)$，B$(1,0)$；顶点D$(-1,-4m)$；C$(0,-3m)$。
直线BD：过B$(1,0)$，D$(-1,-4m)$，斜率$k = 2m$，方程$y = 2mx - 2m$。
直线AC：过A$(-3,0)$，C$(0,-3m)$，斜率$k = -m$，方程$y = -mx - 3m$。
联立得E$(-\frac{1}{3}, -\frac{8m}{3})$。
$BE = \sqrt{(1 + \frac{1}{3})^2 + (0 + \frac{8m}{3})^2} = \frac{4}{3}\sqrt{1 + 4m^2}$，
$DE = \sqrt{(-\frac{1}{3} + 1)^2 + (-\frac{8m}{3} + 4m)^2} = \frac{2}{3}\sqrt{1 + 4m^2}$，
故$BE = 2DE$。
（3）设M$(x_M, y)$，$y ＜ 0$且$y ≠ -3m$，N在AC上，$x_N = -\frac{y}{m} - 3$。
$MN = |x_M - x_N| = |x_M^2 + 3x_M|$，$x_M \in (-3,1)$且$x_M ≠ 0$。
当$x_M \in (-3,0)$时，$MN = -x_M^2 - 3x_M$，最大值$\frac{9}{4}$，取值$(0, \frac{9}{4}]$；
当$x_M \in (0,1)$时，$MN = x_M^2 + 3x_M$，取值$(0,4)$。
综上：
$0 ＜ MN ＜ \frac{9}{4}$时，3个点；
$MN = \frac{9}{4}$时，2个点；
$\frac{9}{4} ＜ MN ＜ 4$时，1个点；
$MN ≥ 4$时，0个点。