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8. (★★) 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$，连接$OH$，若$OA = 6$，$S_{菱形ABCD} = 48$，则$OH$的长为【 】
A.$4$
B.$8$
C.$\sqrt{13}$
D.$6$
A.$4$
B.$8$
C.$\sqrt{13}$
D.$6$
答案
A
解析
∵菱形ABCD对角线AC、BD交于O，∴AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD，AC=12。
∵S菱形ABCD=48，且S=AC×BD/2，∴48=12×BD/2，解得BD=8，∴OD=BD/2=4。
∵DH⊥AB，∴△DHB为直角三角形，O为BD中点，∴OH=BD/2=4（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵S菱形ABCD=48，且S=AC×BD/2，∴48=12×BD/2，解得BD=8，∴OD=BD/2=4。
∵DH⊥AB，∴△DHB为直角三角形，O为BD中点，∴OH=BD/2=4（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
9. (★★) (2025·青海) 如图，在菱形$ABCD$中，$BD = 6$，$E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，且$EF = 2$，则菱形$ABCD$的面积为。
答案
12
解析
在菱形$ABCD$中，$E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，根据三角形中位线定理，$EF$是$△ ABC$的中位线，故$EF=\frac{1}{2}AC$。已知$EF = 2$，则$AC=2EF=4$。菱形面积公式为$\frac{1}{2}×$对角线乘积，已知$BD = 6$，所以面积为$\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
10. (★★) 如图，在菱形$ABCD$中，$AB = 4$，$E$为$BC$的中点，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$，$CG// AE$，$CG$交$AF$于点$H$，交$AD$于点$G$。
(1) 求菱形$ABCD$的面积；
(2) 求$∠ CHA$的度数。
(1) 求菱形$ABCD$的面积；
(2) 求$∠ CHA$的度数。
答案
(1) 在菱形$ABCD$中，$AB = BC = 4$。$E$为$BC$中点，$BE=\frac{1}{2}BC = 2$。$AE ⊥ BC$，在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。菱形面积$S = BC × AE=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
(2) 由$AE ⊥ BC$，$E$为$BC$中点，得$AC = AB = BC = 4$，$△ ABC$为等边三角形，$∠ ACB = 60°$。$CG // AE$，$AE ⊥ BC$，则$CG ⊥ BC$，$∠ GCB = 90°$，$∠ HCA=∠ GCB - ∠ ACB=90° - 60°=30°$。同理，$△ ACD$为等边三角形，$AF ⊥ CD$，$AF$平分$∠ CAD$，$∠ CAF = 30°$。在$△ AHC$中，$∠ CHA=180° - ∠ HAC - ∠ HCA=180° - 30° - 30°=120°$。
(1) $8\sqrt{3}$；(2) $120°$
(2) 由$AE ⊥ BC$，$E$为$BC$中点，得$AC = AB = BC = 4$，$△ ABC$为等边三角形，$∠ ACB = 60°$。$CG // AE$，$AE ⊥ BC$，则$CG ⊥ BC$，$∠ GCB = 90°$，$∠ HCA=∠ GCB - ∠ ACB=90° - 60°=30°$。同理，$△ ACD$为等边三角形，$AF ⊥ CD$，$AF$平分$∠ CAD$，$∠ CAF = 30°$。在$△ AHC$中，$∠ CHA=180° - ∠ HAC - ∠ HCA=180° - 30° - 30°=120°$。
(1) $8\sqrt{3}$；(2) $120°$
11. (★★) 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $CD$，$BC$ 上的动点，连接 $AE$，$EF$，$G$，$H$ 分别为 $AE$，$EF$ 的中点，连接 $GH$。若 $∠ ABC = 60^{\circ}$，$BC = 2$，则 $GH$ 的最小值为。
]
]答案
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
在菱形$ABCD$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=60^{\circ}$。$G$、$H$分别为$AE$、$EF$中点，由三角形中位线定理得$GH=\frac{1}{2}AF$。要使$GH$最小，需$AF$最小。$F$在$BC$上运动，$AF$最小值为点$A$到$BC$的距离（菱形的高）。在$Rt△ ABF$中，$AF=AB·\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故$GH_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
12. (★★) (2025·凉山州) 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $CD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BD$ 于点 $F$，$EG ⊥ AC$ 于点 $G$，若 $AC = 12$，$BD = 16$，则 $FG$ 的长为。
]
]
答案
5（题目中是填空题，这里按照你要求格式，若原题目是求数值则此处应为数值答案相关，由于你要求填空题按特定格式，此处给出答案的数值形式对应的结果表述） ，若按照你给答案格式要求对应本题实际是求$FG$长，答案就为$5$对应的框选形式（本题是填空题无选项，若按你要求套用格式理解为答案数值对应放入框，即$\boxed{5}$ ） 。
解析
在菱形$ABCD$中，对角线$AC = 12$，$BD = 16$。
根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分。
所以$OC=\frac{1}{2}AC = 6$，$OD=\frac{1}{2}BD = 8$。
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理$CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}$，可得$CD=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为点$E$为$CD$中点，所以在$Rt△ OCD$中，$OE = CE=DE=\frac{1}{2}CD = 5$。
由于$EG⊥ AC$，$EF⊥ BD$，$∠ DOC = 90^{\circ}$，所以四边形$OGEF$是矩形。
则$FG = OE = 5$。
根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分。
所以$OC=\frac{1}{2}AC = 6$，$OD=\frac{1}{2}BD = 8$。
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理$CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}$，可得$CD=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为点$E$为$CD$中点，所以在$Rt△ OCD$中，$OE = CE=DE=\frac{1}{2}CD = 5$。
由于$EG⊥ AC$，$EF⊥ BD$，$∠ DOC = 90^{\circ}$，所以四边形$OGEF$是矩形。
则$FG = OE = 5$。
13. (★★) 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$F$ 是 $AB$ 上一点，$DF$ 交 $AC$ 于点 $E$。
求证：$∠ AFD = ∠ CBE$。
]
求证：$∠ AFD = ∠ CBE$。
]答案
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB//CD，AC平分∠BCD，即∠BCE=∠DCE。
在△BCE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD\\ ∠BCE=∠DCE\\ CE=CE\end{array} $，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE。
∵AB//CD，
∴∠AFD=∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AFD=∠CBE。
∴BC=CD，AB//CD，AC平分∠BCD，即∠BCE=∠DCE。
在△BCE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD\\ ∠BCE=∠DCE\\ CE=CE\end{array} $，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE。
∵AB//CD，
∴∠AFD=∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AFD=∠CBE。
