14. (★★) 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$P$ 是对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$，$PF ⊥ AB$ 于点 $F$。若菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$，面积为 $24$，则 $PE + PF$ 的值为【】

A.$4$
B.$4.8$
C.$6$
D.$9.6$

B

∵菱形ABCD周长为20，∴边长AB=BC=5。
∵菱形面积为24，∴△ABC面积为12（菱形面积的一半）。
连接PB，△ABC面积=△ABP面积+△CBP面积。
∵PF⊥AB，PE⊥BC，
∴△ABP面积=1/2·AB·PF，△CBP面积=1/2·BC·PE。
∴1/2·5·PF + 1/2·5·PE = 12，即5/2(PE + PF)=12。
解得PE + PF=24/5=4.8。

15. (★★) 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC$，$BD$ 交于点 $O$，$DE$ 平分 $∠ ADB$ 交 $AC$ 于点 $E$，$BF$ 平分 $∠ CBD$ 交 $AC$ 于点 $F$，连接 $BE$，$DF$。
(1) 求证：$∠ 1 = ∠ 2$；
(2) 若四边形 $ABCD$ 是菱形且 $AB = 2$，$∠ ABC = 120^{\circ}$，求四边形 $BEDF$ 的面积。
]

(1) 见证明过程；(2) 2√3/3。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BO=DO，∠ADB=∠CBD。
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDO=1/2∠ADB，∠FBO=1/2∠CBD，
∴∠EDO=∠FBO。
在△EOD和△FOB中，
∠EDO=∠FBO，DO=BO，∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE=OF。
∵BO=DO，∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF，∴∠1=∠2。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=120°，
∴AB=AD=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，BO=DO=1/2BD，AO=CO=1/2AC。
△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，BO=DO=1。
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AO=AB·cos30°=2×(√3/2)=√3，AC=2√3。
DE平分∠ADB，∠ADB=60°，∴∠ODE=30°。
在Rt△DOE中，OE=DO·tan30°=1×(√3/3)=√3/3，∴EF=2OE=2√3/3。
S四边形BEDF=1/2×BD×EF=1/2×2×(2√3/3)=2√3/3。

16. (★★★) 如图，在边长为 $a$ 的菱形 $ABCD$ 中，$∠ DAB = 60^{\circ}$，$E$ 是 $AD$ 上异于 $A$，$D$ 两点的动点，$F$ 是 $CD$ 上的动点，满足 $AE + CF = a$。
(1) 求证：$△ BDE ≌ △ BCF$；
(2) 求证：不论 $E$，$F$ 怎样移动，$△ BEF$ 总是等边三角形。
]

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，边长为 $a$，
∴ $AD = CD = BC = a$，$∠ DAB = ∠ BCD = 60°$。
连接 $BD$，∵ $∠ DAB = 60°$，$AD = AB$，
∴ $△ ABD$ 是等边三角形，同理 $△ BCD$ 是等边三角形，
∴ $BD = BC$，$∠ BDE = ∠ BCF = 60°$。
∵ $AE + CF = a$，且 $AE = AD - DE = a - DE$，
∴ $a - DE + CF = a$，即 $DE = CF$。
在 $△ BDE$ 和 $△ BCF$ 中，
$\begin{cases} BD = BC \\ ∠ BDE = ∠ BCF \\ DE = CF \end{cases}$，
∴ $△ BDE ≌ △ BCF$（SAS）。
(2) 证明：
由(1) $△ BDE ≌ △ BCF$，得 $BE = BF$，$∠ DBE = ∠ CBF$。
∵ $△ BCD$ 是等边三角形，∴ $∠ DBC = 60°$，即 $∠ DBF + ∠ CBF = 60°$。
∵ $∠ DBE = ∠ CBF$，∴ $∠ DBF + ∠ DBE = 60°$，即 $∠ EBF = 60°$。
∵ $BE = BF$ 且 $∠ EBF = 60°$，
∴ $△ BEF$ 是等边三角形。