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1. (★) 有三个内角是直角的四边形是.对角线互相垂直平分的四边形是；有一组邻边相等的是菱形；四边都相等的是菱形.
答案
矩形；菱形；平行四边形；四边形
解析
1. 有三个内角是直角的四边形，根据四边形内角和为360°，第四个角也是直角，四个角都是直角的四边形是矩形。
2. 对角线互相垂直平分的四边形，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
3. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义。
4. 四边都相等的四边形是菱形，这是菱形的判定定理。
2. 对角线互相垂直平分的四边形，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
3. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义。
4. 四边都相等的四边形是菱形，这是菱形的判定定理。
2. (★★) 已知四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$AB// CD$.添加下列条件仍不能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的是 【 】
A.$AD = BC$ 且 $AC⊥ BD$
B.$AB = CD$ 且 $AB = AD$
C.$AD// BC$ 且 $OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$
D.$AB = CD$ 且 $AC⊥ BD$
A.$AD = BC$ 且 $AC⊥ BD$
B.$AB = CD$ 且 $AB = AD$
C.$AD// BC$ 且 $OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$
D.$AB = CD$ 且 $AC⊥ BD$
答案
A
解析
已知$AB// CD$，分析各选项：
选项B：$AB = CD$且$AB = AD$。由$AB// CD$且$AB = CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；又$AB = AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项C：$AD// BC$且$OA^2 + OB^2 = AB^2$。由$AB// CD$和$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理逆定理得$∠ AOB = 90°$，即$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项D：$AB = CD$且$AC⊥ BD$。由$AB// CD$且$AB = CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项A：$AD = BC$且$AC⊥ BD$。$AB// CD$且$AD = BC$，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形（可能为等腰梯形），即使$AC⊥ BD$，也无法确定是菱形。
选项B：$AB = CD$且$AB = AD$。由$AB// CD$且$AB = CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；又$AB = AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项C：$AD// BC$且$OA^2 + OB^2 = AB^2$。由$AB// CD$和$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理逆定理得$∠ AOB = 90°$，即$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项D：$AB = CD$且$AC⊥ BD$。由$AB// CD$且$AB = CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
选项A：$AD = BC$且$AC⊥ BD$。$AB// CD$且$AD = BC$，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形（可能为等腰梯形），即使$AC⊥ BD$，也无法确定是菱形。
3. (★★) 如图，在作线段 $AB$ 的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点 $A$，$B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $C$，$D$，则直线 $CD$ 即为所求.根据他的作图方法可知，四边形 $ADBC$ 一定是.
答案
菱形
解析
由作图可知，AC=BC=AD=BD，根据四条边都相等的四边形是菱形，可得四边形ADBC是菱形。
4. (★★) 如图，已知在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$.求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形。
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形。
5. (★★) 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，给出下列四个条件：① $AB = BC$；② $AC = BD$；③ $AC⊥ BD$；④ $AC$ 平分 $∠ BAD$.若添加其中一个条件，不能使四边形 $ABCD$ 是菱形的为 【 】
A.①
B.②
C.③
D.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
对于选项A，在平行四边形ABCD中，若AB=BC，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形；对于选项B，AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，不能判定为菱形；对于选项C，AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形；对于选项D，AC平分∠BAD，因为平行四边形中AD//BC，所以∠DAC=∠BCA，又AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC，进而∠BAC=∠BCA，可得AB=BC，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。综上，不能使四边形ABCD是菱形的为②。
6. (★★) 如图，四边形 $ABCD$ 是轴对称图形，且直线 $AC$ 是对称轴，$AB// CD$，有下列结论：① $AC⊥ BD$；② $AD// BC$；③ 四边形 $ABCD$ 是菱形；④ $△ ABD≌△ CDB$.其中正确的是（填序号）.
答案
①②③④
解析
∵四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是对称轴，∴点B与点D关于AC对称，∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，①正确；∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵轴对称性质得∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵B与D对称，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD是菱形，③正确；菱形对边平行，∴AD//BC，②正确；在菱形ABCD中，AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），④正确。
7. (★★) (2025·徐州) 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，$EF⊥ AC$ 于点 $G$，交 $AD$ 于点 $F$，$AB⊥ AC$，连接 $AE$，$CF$.求证：
(1) $△ AGF≌△ CGE$；
(2) 四边形 $AECF$ 是菱形.
(1) $△ AGF≌△ CGE$；
(2) 四边形 $AECF$ 是菱形.
答案
(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴∠FAG=∠ECG。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，∴∠BAC=∠FGC=90°，∴AB//EF。
∵E为BC中点，∴BE=EC=1/2BC，又AB//EF，AD//BC，∴F为AD中点，∴AF=1/2AD=1/2BC=EC。
在△AGF和△CGE中，
∠FAG=∠ECG，
∠AGF=∠CGE=90°，
AF=EC，
∴△AGF≌△CGE(AAS)。
(2) 由(1)△AGF≌△CGE，得AG=CG，FG=EG，∴AC与EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形。
∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，∴∠BAC=∠FGC=90°，∴AB//EF。
∵E为BC中点，∴BE=EC=1/2BC，又AB//EF，AD//BC，∴F为AD中点，∴AF=1/2AD=1/2BC=EC。
在△AGF和△CGE中，
∠FAG=∠ECG，
∠AGF=∠CGE=90°，
AF=EC，
∴△AGF≌△CGE(AAS)。
(2) 由(1)△AGF≌△CGE，得AG=CG，FG=EG，∴AC与EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形。
∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
