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8. (★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$DE// BC$，$EF// AB$，要判定四边形 $DBFE$ 是菱形，还需要添加的条件是 【 】
A.$AB = AC$
B.$AD = BD$
C.$BE⊥ AC$
D.$BE$ 平分 $∠ ABC$
A.$AB = AC$
B.$AD = BD$
C.$BE⊥ AC$
D.$BE$ 平分 $∠ ABC$
答案
D
解析
因为 $DE // BC$，$EF // AB$，
所以四边形 $DBFE$ 为平行四边形，
要使其为菱形，只需邻边相等即可，
即需要 $BD = DE$，
因为 $BE$ 平分 $∠ ABC$，
所以 $∠ ABE = ∠ EBC$，
因为 $DE // BC$，
所以 $∠ EBC = ∠ BED$，
所以 $∠ ABE = ∠ BED$，
所以 $BD = DE$，
所以四边形 $DBFE$ 是菱形。
所以四边形 $DBFE$ 为平行四边形，
要使其为菱形，只需邻边相等即可，
即需要 $BD = DE$，
因为 $BE$ 平分 $∠ ABC$，
所以 $∠ ABE = ∠ EBC$，
因为 $DE // BC$，
所以 $∠ EBC = ∠ BED$，
所以 $∠ ABE = ∠ BED$，
所以 $BD = DE$，
所以四边形 $DBFE$ 是菱形。
9. (★★) 如图，过矩形 $ABCD$ 的四个顶点作对角线 $AC$，$BD$ 的平行线，分别交于 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点，则四边形 $EFGH$ 为 【 】
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案
C
解析
∵矩形ABCD对角线AC=BD，过各顶点作AC、BD的平行线，∴四边形EFGH两组对边分别平行，为平行四边形。又∵EFGH的邻边分别等于AC、BD，且AC=BD，∴邻边相等的平行四边形是菱形。
10. (★★) 如图，$AC$，$BD$ 是四边形 $ABCD$ 的对角线，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$M$，$N$ 分别是 $AC$，$BD$ 的中点，连接 $EM$，$MF$，$FN$，$NE$，要使四边形 $EMFN$ 为菱形，则四边形 $ABCD$ 需满足的条件是.
答案
AB=CD
解析
∵E，M分别是AD，AC中点，∴EM是△ADC中位线，∴EM=1/2CD，EM//CD；∵N，F分别是BD，BC中点，∴NF是△BDC中位线，∴NF=1/2CD，NF//CD，∴EM=NF，EM//NF，∴四边形EMFN是平行四边形；∵E，N分别是AD，BD中点，∴EN是△ABD中位线，∴EN=1/2AB；要使▱EMFN为菱形，需EM=EN，即1/2CD=1/2AB，∴AB=CD。
11. (★★) 如图，在 ${\rm Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，$D$ 为斜边 $AB$ 上一点，以 $CD$，$CB$ 为边作 $□ CDEB$，当 $AD$ 的长为时，$□ CDEB$ 为菱形.
答案
$\frac{7}{5}$
解析
在${\rm Rt}△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。要使$□CDEB$为菱形，则$CD=CB=3$。过$C$作$CH⊥AB$于$H$，由面积法得$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。在${\rm Rt}△CHB$中，$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。因为$CD=CB$，$CH⊥AB$，所以$H$为$BD$中点，$BD=2BH=\frac{18}{5}$。则$AD=AB-BD=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
12. (★★) 如图，$AM// BN$，$AC$ 平分 $∠ BAM$，交 $BN$ 于点 $C$，过点 $B$ 作 $BD⊥ AC$，交 $AM$ 于点 $D$，垂足为 $O$，连接 $CD$.求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
答案
证明：
∵AM//BN，∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠BAM，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC（等角对等边）．
∵BD⊥AC，∴∠AOB=∠AOD=90°．
在△AOB和△AOD中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAO=∠DAO,\\ AO=AO,\\ ∠AOB=∠AOD,\end{array} $
∴△AOB≌△AOD（ASA），∴AB=AD，BO=DO．
∵AB=BC，AB=AD，∴AD=BC．
∵AM//BN，即AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
∵AM//BN，∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠BAM，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC（等角对等边）．
∵BD⊥AC，∴∠AOB=∠AOD=90°．
在△AOB和△AOD中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAO=∠DAO,\\ AO=AO,\\ ∠AOB=∠AOD,\end{array} $
∴△AOB≌△AOD（ASA），∴AB=AD，BO=DO．
∵AB=BC，AB=AD，∴AD=BC．
∵AM//BN，即AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
13. (★★) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC = BD = 6$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，则 $EG^{2}+FH^{2}=$.
答案
36
解析
连接EH、EF、FG、GH。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EF=1/2AC=3，EF//AC；EH=1/2BD=3，EH//BD。
同理，HG=1/2AC=3，HG//AC；FG=1/2BD=3，FG//BD。
∴EF=HG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形。
在平行四边形EFGH中，根据“平行四边形对角线的平方和等于四边平方和”，得EG²+FH²=2(EF²+EH²)。
∵EF=3，EH=3，
∴EG²+FH²=2(3²+3²)=2×18=36。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EF=1/2AC=3，EF//AC；EH=1/2BD=3，EH//BD。
同理，HG=1/2AC=3，HG//AC；FG=1/2BD=3，FG//BD。
∴EF=HG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形。
在平行四边形EFGH中，根据“平行四边形对角线的平方和等于四边平方和”，得EG²+FH²=2(EF²+EH²)。
∵EF=3，EH=3，
∴EG²+FH²=2(3²+3²)=2×18=36。
