14. (★★) (2025·西藏) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$BC = 2AD$，$E$ 是 $BC$ 的中点，且 $AC$ 平分 $∠ DAE$.
(1) 求证：四边形 $ADCE$ 是菱形；
(2) 已知 $AB = 3$，$AE = 2$，求线段 $AC$ 的长.

(1) 见证明；(2) √7.

(1) 证明：
∵E是BC中点，∴BC=2EC，
∵BC=2AD，∴AD=EC，
∵AD//BC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，
∴平行四边形ADCE是菱形.
(2) 解：
由(1)得ADCE是菱形，∴AE=EC=AD=2，
∵E是BC中点，∴BC=2EC=4，BE=EC=2，
过A作AF⊥BC于F，设EF=x，则BF=2+x（F在BE延长线上），
在Rt△ABF中，AF²=3²-(2+x)²，
在Rt△AEF中，AF²=2²-x²，
∴9-(2+x)²=4-x²，解得x=1/4，
∴BF=2+1/4=9/4，FC=BC-BF=4-9/4=7/4，
AF²=2²-(1/4)²=63/16，
在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²=63/16+49/16=112/16=7，
∴AC=√7.

15. (★★★) 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$O$ 为 $AC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别与 $AB$，$CD$ 交于点 $E$，$F$，连接 $BF$ 交 $AC$ 于点 $M$，连接 $DE$，$BO$.若 $∠ COB = 60^{\circ}$，$FO = FC$，有下列结论：① $FB⊥ OC$，$OM = CM$；② $△ EOB≌△ CMB$；③ 四边形 $EBFD$ 是菱形；④ $MB:OE = 3:2$.其中正确结论的个数是 【 】

A.1
B.2
C.3
D.4

C

∵四边形ABCD是矩形，O为AC中点，∴OA=OC=OB=OD，AC=BD。
∵∠COB=60°，OB=OC，∴△COB是等边三角形，∴OB=OC=BC，∠OCB=60°，∠OBC=60°。
∵AB//CD，OA=OC，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，AE=CF。
∵FO=FC，设FC=FO=x，∠FCO=∠FOC。∵∠OCB=60°，∠BCD=90°，∴∠FCO=30°，则∠FOC=30°，∠OFC=120°。
在△FOC中，由正弦定理得x/sin30°=OC/sin120°，解得OC=2a时，x=2√3a/3，即FO=FC=2√3a/3，OE=OF=2√3a/3。
①在Rt△FOB中，∠FOB=∠FOC+∠COB=90°，tan∠OBF=OF/OB=√3/3，∴∠OBF=30°。在△OMB中，∠OMB=180°-60°-30°=90°，∴FB⊥OC；OM=OB/2=a，CM=OC-OM=a，∴OM=CM。①正确。
②△EOB中，∠EOB=90°，OE=2√3a/3，OB=2a；△CMB中，∠CMB=90°，CM=a，CB=2a，两三角形对应边不相等，不全等。②错误。
③AB=CD，AE=CF，∴EB=FD，又EB//FD，∴四边形EBFD是平行四边形。EB=AB-AE=4√3a/3，BF=√(BC²+CF²)=4√3a/3，∴EB=BF，故四边形EBFD是菱形。③正确。
④MB=√(CB²-CM²)=√3a，OE=2√3a/3，∴MB:OE=√3a:(2√3a/3)=3:2。④正确。
综上，正确结论为①③④，共3个。

16. (★★★) 在 ${\rm Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $AF// BC$ 交 $BE$ 的延长线于点 $F$.求证：
(1) $△ AEF≌△ DEB$；
(2) 四边形 $ADCF$ 是菱形.

(1) ∵E是AD的中点，∴AE=DE。
∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠AEF=∠DEB（对顶角相等），
∴△AEF≌△DEB（AAS）。
(2) 由(1)知△AEF≌△DEB，∴AF=DB。
∵D是BC的中点，∴DB=DC，∴AF=DC。
∵AF//BC，即AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=1/2BC=DC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴平行四边形ADCF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。