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2. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，则下列结论错误的是(
A.$ AD // BC $
B.$ OA = OC $
C.$ ∠ BAC = ∠ DCA $
D.$ △ ABO ≌ △ ADO $
D
)A.$ AD // BC $
B.$ OA = OC $
C.$ ∠ BAC = ∠ DCA $
D.$ △ ABO ≌ △ ADO $
答案
2. D
解析
【解析】
- 选项A：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以$AD// BC$，该选项正确。
- 选项B：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以$OA = OC$，该选项正确。
- 选项C：因为$AB// CD$，所以$∠ BAC=∠ DCA$（两直线平行，内错角相等），该选项正确。
- 选项D：在$△ ABO$和$△ ADO$中，$OA = OA$（公共边），$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分），$AB≠ AD$（平行四边形邻边不一定相等），所以$△ ABO$与$△ ADO$不全等，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定，需要对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
- 选项A：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以$AD// BC$，该选项正确。
- 选项B：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以$OA = OC$，该选项正确。
- 选项C：因为$AB// CD$，所以$∠ BAC=∠ DCA$（两直线平行，内错角相等），该选项正确。
- 选项D：在$△ ABO$和$△ ADO$中，$OA = OA$（公共边），$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分），$AB≠ AD$（平行四边形邻边不一定相等），所以$△ ABO$与$△ ADO$不全等，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定，需要对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
3. 已知直线 $ a // b $，点 $ M $ 到直线 $ a $ 的距离是 $ 5 \mathrm{ cm} $，到直线 $ b $ 的距离是 $ 3 \mathrm{ cm} $，那么直线 $ a $ 和直线 $ b $ 之间的距离为
2cm或8cm
.答案
3. 2cm或8cm
解析
【解析】
分两种情况：
情况一：当点$M$在直线$a$，$b$的同侧时，直线$a$和直线$b$之间的距离为$5 - 3 = 2(\mathrm{cm})$；
情况二：当点$M$在直线$a$，$b$之间时，直线$a$和直线$b$之间的距离为$5 + 3 = 8(\mathrm{cm})$。
【答案】
$2\mathrm{cm}$或$8\mathrm{cm}$
【知识点】
平行线间的距离、点到直线的距离
【点评】
本题考查了平行线间距离的计算，需要分情况讨论点$M$的位置，考查学生的分类讨论思想和对距离概念的理解。
【难度系数】
$0.6$
分两种情况：
情况一：当点$M$在直线$a$，$b$的同侧时，直线$a$和直线$b$之间的距离为$5 - 3 = 2(\mathrm{cm})$；
情况二：当点$M$在直线$a$，$b$之间时，直线$a$和直线$b$之间的距离为$5 + 3 = 8(\mathrm{cm})$。
【答案】
$2\mathrm{cm}$或$8\mathrm{cm}$
【知识点】
平行线间的距离、点到直线的距离
【点评】
本题考查了平行线间距离的计算，需要分情况讨论点$M$的位置，考查学生的分类讨论思想和对距离概念的理解。
【难度系数】
$0.6$
4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = BC = 15 $，$ AC = 18 $，$ D $ 是 $ BC $ 边上任意一点，连接 $ AD $，以 $ AD $，$ CD $ 为邻边作平行四边形 $ ADCE $，连接 $ DE $，则 $ DE $ 长的最小值为
14.4
.答案
4. 14.4
解析
【解析】
因为四边形$ADCE$是平行四边形，所以$DE = 2OD$，$OA = OC = 9$。
当$OD$取最小值时，$DE$线段最短，此时$OD⊥BC$。
过$B$作$BH⊥AC$于$H$，因为$AB = BC$，所以$AH = CH = 9$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABH$中，$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BH=\frac{1}{2}BC· OD$，即$\frac{1}{2}×18×12=\frac{1}{2}×15× OD$，解得$OD = 7.2$。
所以$DE = 2OD = 14.4$。
【答案】
$14.4$
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题通过平行四边形性质将求$DE$的最小值转化为求$OD$的最小值，再利用等腰三角形性质和勾股定理等知识求解，综合性较强。
【难度系数】
$0.3$
因为四边形$ADCE$是平行四边形，所以$DE = 2OD$，$OA = OC = 9$。
当$OD$取最小值时，$DE$线段最短，此时$OD⊥BC$。
过$B$作$BH⊥AC$于$H$，因为$AB = BC$，所以$AH = CH = 9$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABH$中，$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BH=\frac{1}{2}BC· OD$，即$\frac{1}{2}×18×12=\frac{1}{2}×15× OD$，解得$OD = 7.2$。
所以$DE = 2OD = 14.4$。
【答案】
$14.4$
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题通过平行四边形性质将求$DE$的最小值转化为求$OD$的最小值，再利用等腰三角形性质和勾股定理等知识求解，综合性较强。
【难度系数】
$0.3$
5. 如图，点 $ O $ 为平行四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 的交点，经过点 $ O $ 的直线分别与 $ BA $ 的延长线和 $ DC $ 的延长线交于点 $ E $，$ F $.求证：$ BE = DF $.
答案
5. 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠OBE=∠ODF。在△BOE和△DOF中，$\begin{cases}∠OBE=∠ODF，\\OB=OD，\\∠BOE=∠DOF，\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠OBE=∠ODF。在△BOE和△DOF中，$\begin{cases}∠OBE=∠ODF，\\OB=OD，\\∠BOE=∠DOF，\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF。
解析
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$。
在$△ BOE$和$△ DOF$中，$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF\\OB = OD\\∠ BOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$BE = DF$。
【答案】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$。
在$△ BOE$和$△ DOF$中，$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF\\OB = OD\\∠ BOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$BE = DF$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过平行四边形的性质得到边和角的关系，进而证明三角形全等，思路清晰，是对平行四边形和全等三角形知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$。
在$△ BOE$和$△ DOF$中，$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF\\OB = OD\\∠ BOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$BE = DF$。
【答案】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$。
在$△ BOE$和$△ DOF$中，$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF\\OB = OD\\∠ BOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$BE = DF$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过平行四边形的性质得到边和角的关系，进而证明三角形全等，思路清晰，是对平行四边形和全等三角形知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在平行四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，分别过点 $ A $，$ C $ 作 $ AE ⊥ BD $，$ CF ⊥ BD $，垂足分别为点 $ E $，$ F $，$ AC $ 平分 $ ∠ DAE $.
（1）若 $ ∠ AOE = 52° $，求 $ ∠ ACB $ 的度数.
（2）求证：$ AE = CF $.
（1）若 $ ∠ AOE = 52° $，求 $ ∠ ACB $ 的度数.
（2）求证：$ AE = CF $.
答案
6. (1)解：
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°。
∵∠AOE=52°，
∴∠EAO=38°。
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAO=38°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=38°。
(2)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF。
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°。
∵∠AOE=52°，
∴∠EAO=38°。
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAO=38°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=38°。
(2)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF。
解析
【解析】
(1)
∵AE⊥BD，
∴∠AEO = 90°。
∵∠AOE = 52°，
根据三角形内角和为180°，可得∠EAO = 180° - 90° - 52° = 38°。
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC = ∠EAO = 38°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质，AD//BC，
∴∠ACB = ∠DAC = 38°。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即OA = OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO = ∠CFO = 90°。
又∵∠AOE = ∠COF（对顶角相等），
在△AEO和△CFO中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO\\∠AOE = ∠COF\\OA = OC\end{cases}$
∴△AEO≌△CFO（AAS），
根据全等三角形的对应边相等，∴AE = CF。
【答案】
(1) $38°$
(2) 证明过程如上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)
∵AE⊥BD，
∴∠AEO = 90°。
∵∠AOE = 52°，
根据三角形内角和为180°，可得∠EAO = 180° - 90° - 52° = 38°。
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC = ∠EAO = 38°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质，AD//BC，
∴∠ACB = ∠DAC = 38°。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即OA = OC。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO = ∠CFO = 90°。
又∵∠AOE = ∠COF（对顶角相等），
在△AEO和△CFO中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO\\∠AOE = ∠COF\\OA = OC\end{cases}$
∴△AEO≌△CFO（AAS），
根据全等三角形的对应边相等，∴AE = CF。
【答案】
(1) $38°$
(2) 证明过程如上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
