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7. 如图 1，平行四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ O $，$ EF $ 过点 $ O $ 且与边 $ AB $，$ CD $ 分别相交于点 $ E $ 和点 $ F $.
（1）求证：$ OE = OF $.
（2）如图 2，已知 $ AD = 1 $，$ BD = 2 $，$ AC = 2\sqrt{2} $，$ ∠ DOF = α $.
①当 $ α $ 为多少度时，$ EF ⊥ AC $？
②在①的条件下，连接 $ AF $，求 $ △ ADF $ 的周长.
（1）求证：$ OE = OF $.
（2）如图 2，已知 $ AD = 1 $，$ BD = 2 $，$ AC = 2\sqrt{2} $，$ ∠ DOF = α $.
①当 $ α $ 为多少度时，$ EF ⊥ AC $？
②在①的条件下，连接 $ AF $，求 $ △ ADF $ 的周长.
答案
7. (1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD。
∴∠EBO=∠FDO。又
∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）。
∴OE=OF。
(2)解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=1，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$。又
∵AD=1，
∴AD²+OD²=OA²，
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°，
∴α=90°−45°=45°。
②由(1)，可得EF垂直平分AC，
∴AF=FC。又AB=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$=CD，
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+$\sqrt{5}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD。
∴∠EBO=∠FDO。又
∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）。
∴OE=OF。
(2)解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=1，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$。又
∵AD=1，
∴AD²+OD²=OA²，
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°，
∴α=90°−45°=45°。
②由(1)，可得EF垂直平分AC，
∴AF=FC。又AB=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$=CD，
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+$\sqrt{5}$。
解析
【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$。
∴$∠ EBO=∠ FDO$。又
∵$∠ BOE=∠ DOF$，
∴$△ BOE≌△ DOF$（$ASA$）。
∴$OE = OF$。
(2)解：①
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD = 1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。又
∵$AD = 1$，
∴$AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$，
∴$∠ ADO = 90°$，$∠ AOD = 45°$，
∴$α=90°-45°=45°$。
②由(1)，可得$EF$垂直平分$AC$，
∴$AF = FC$。又$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}=CD$，
∴$△ ADF$的周长$=AD + DF+FA=AD + CD=1+\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)①$45°$；②$1+\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查平行四边形相关性质及全等三角形、勾股定理逆定理的应用，第一问通过平行四边形性质找全等条件证明线段相等，第二问先利用勾股定理逆定理求角度，再根据线段垂直平分线性质求周长，考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB = OD$，$AB// CD$。
∴$∠ EBO=∠ FDO$。又
∵$∠ BOE=∠ DOF$，
∴$△ BOE≌△ DOF$（$ASA$）。
∴$OE = OF$。
(2)解：①
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD = 1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。又
∵$AD = 1$，
∴$AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$，
∴$∠ ADO = 90°$，$∠ AOD = 45°$，
∴$α=90°-45°=45°$。
②由(1)，可得$EF$垂直平分$AC$，
∴$AF = FC$。又$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}=CD$，
∴$△ ADF$的周长$=AD + DF+FA=AD + CD=1+\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)①$45°$；②$1+\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查平行四边形相关性质及全等三角形、勾股定理逆定理的应用，第一问通过平行四边形性质找全等条件证明线段相等，第二问先利用勾股定理逆定理求角度，再根据线段垂直平分线性质求周长，考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
8. (2025·新疆)如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ ∠ BCD $ 的平分线交 $ AB $ 于点 $ E $，若 $ AD = 2 $，则 $ BE = $
2
.答案
8. 2
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC = 2$。
因为$CE$平分$∠ BCD$，所以$∠ BCE=∠ DCE$。
又因为$AB// CD$，所以$∠ BEC=∠ DCE$。
所以$∠ BCE=∠ BEC$，则$BE = BC = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题通过平行四边形的性质得到边的关系和角的关系，再结合角平分线的定义推出等腰三角形，进而求出线段长度，考查了对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.6$
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC = 2$。
因为$CE$平分$∠ BCD$，所以$∠ BCE=∠ DCE$。
又因为$AB// CD$，所以$∠ BEC=∠ DCE$。
所以$∠ BCE=∠ BEC$，则$BE = BC = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题通过平行四边形的性质得到边的关系和角的关系，再结合角平分线的定义推出等腰三角形，进而求出线段长度，考查了对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.6$
9. （2025·宜宾）如图，点 $ E $ 是平行四边形 $ ABCD $ 边 $ CD $ 的中点，连接 $ AE $ 并延长交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $，$ AD = 5 $.求证：$ △ ADE ≌ △ FCE $，并求 $ BF $ 的长.
答案
9. 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD=5，
∴∠D=∠FCE。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，$\begin{cases}∠D=∠FCE，\\DE=CE，\\∠AED=∠FEC，\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD=5，
∴∠D=∠FCE。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，$\begin{cases}∠D=∠FCE，\\DE=CE，\\∠AED=∠FEC，\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10。
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC = AD = 5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$，在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ FCE\\DE = CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE$（$ASA$），
∴$FC = AD = 5$，
∴$BF = BC + FC = 5 + 5 = 10$。
【答案】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC = AD = 5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$，在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ FCE\\DE = CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE$（$ASA$），
∴$FC = AD = 5$，
∴$BF = BC + FC = 5 + 5 = 10$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、线段长度计算
【点评】
本题先利用平行四边形性质得到角和边的关系，再通过中点得出边相等，最后利用全等三角形判定定理证明全等，进而求出线段长度，考查知识综合运用。
【难度系数】
$0.6$
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC = AD = 5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$，在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ FCE\\DE = CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE$（$ASA$），
∴$FC = AD = 5$，
∴$BF = BC + FC = 5 + 5 = 10$。
【答案】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC = AD = 5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$，在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ FCE\\DE = CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE$（$ASA$），
∴$FC = AD = 5$，
∴$BF = BC + FC = 5 + 5 = 10$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、线段长度计算
【点评】
本题先利用平行四边形性质得到角和边的关系，再通过中点得出边相等，最后利用全等三角形判定定理证明全等，进而求出线段长度，考查知识综合运用。
【难度系数】
$0.6$
