16. （6 分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AC$ 平分 $∠ BAD$，$CE// AD$ 交 $AB$ 于点 $E$.
（1）求证：四边形 $AECD$ 是菱形；
（2）若 $E$ 是 $AB$ 的中点，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.

16. （1）证明：
∵ AB // CD，即 AE // CD. 又
∵ CE // AD，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形.
∵ AC 平分 ∠BAD，
∴ ∠CAE = ∠CAD. 又
∵ AD // CE，
∴ ∠ACE = ∠CAD，
∴ ∠ACE = ∠CAE，
∴ AE = CE，
∴ 四边形 AECD 是菱形

（2）连接 DE，交 AC 于点 F，由四边形 AECD 是菱形，得到 DE ⊥ AC，且平分 AC.
∵ E 是 AB 的中点，且 F 为 AC 中点，
∴ EF // BC. 又
∵ ∠AFE = 90°，
∴ ∠ACB = ∠AFE = 90°，
∴ BC ⊥ AC，
∴ △ABC 是直角三角形

17. （6 分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = x - 5$，$CD = 11 - x$，$AD = 5$，$BC = x - 3$，对角线 $AC = 4$，$AC⊥ AB$，求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

17. 证明：
∵ AC ⊥ AB，
∴ (x - 3)² - (x - 5)² = 4².
∴ x = 8，
∴ AB = 3，CD = 3，BC = 5.
∴ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

18. （6 分）如图，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是 $∠ BAC$ 的角平分线，$DE// AC$，$DF// AB$.求证：四边形 $AEDF$ 是菱形.
对于这道题，小明给出下面的证明：
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$.
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$，$\therefore DE = AE$.
同理可证 $DF = AF$.
$\therefore$ 四边形 $AEDF$ 是菱形.
老师说小明的证明过程有错误，你发现了吗？
（1）请指出他的错误是什么？
（2）请给出正确的证明.

18. （1）小明错用了四条边相等的四边形是菱形的判别方法，误以为两组邻边分别相等的四边形是菱形
（2）正确的证明：
∵ DE // AC，DF // AB，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形.
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2.
∵ DE // AC，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ DE = AE，
∴ 平行四边形 AEDF 是菱形（证明方法不唯一）

19. （6 分）如图，将 $□ ABCD$ 的边 $AB$ 延长到点 $E$，使 $BE = AB$，连接 $DE$，交边 $BC$ 于点 $F$.
（1）求证：$△ BEF≌△ CDF$；
（2）连接 $BD$，$CE$，若 $∠ BFD = 2∠ A$，求证：四边形 $BECD$ 是矩形.

19. （1）证明略
（2）
∵ BE 与 CD 平行且相等，
∴ 四边形 BECD 为平行四边形.
∴ DF = 1/2DE，CF = 1/2BC.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ ∠FCD = ∠A.
∵ ∠BFD = ∠FCD + ∠FDC，∠BFD = 2∠A，
∴ ∠FDC = ∠FCD.
∴ FD = FC. 又
∵ DF = 1/2DE，CF = 1/2BC，
∴ BC = DE.
∴ □BECD 是矩形