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20. （7 分）如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别为 $OB$，$OD$ 的中点，延长 $AE$ 至点 $G$，使 $EG = AE$，连接 $CG$.
（1）求证：四边形 $EGCF$ 是平行四边形；
（2）当 $AB$ 与 $AC$ 满足什么关系时，四边形 $EGCF$ 中 $EG : EF = 1 : 2$？请说明理由.
（1）求证：四边形 $EGCF$ 是平行四边形；
（2）当 $AB$ 与 $AC$ 满足什么关系时，四边形 $EGCF$ 中 $EG : EF = 1 : 2$？请说明理由.
答案
20. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，OB = OD，OA = OC.
∵ 点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，
∴ OE = 1/2OB，OF = 1/2OD，
∴ OE = OF.
∵ ∠AOE = ∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（SAS），
∴ AE = CF，∠AEO = ∠CFO，
∴ AE // CF，即 EG // CF. 又
∵ EG = AE = CF，
∴ 四边形 EGCF 是平行四边形
（2）解：AC ⊥ AB；理由如下：由（1）可知 EF = 2OE，OE = BE.
∵ EF = 2GE，EG = AE，
∴ OE = AE = BE，
∴ ∠AOE = ∠OAE，∠ABE = ∠BAE，
∴ ∠BAO = ∠OAE + ∠BAE = 90°，即 AC ⊥ AB
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，OB = OD，OA = OC.
∵ 点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，
∴ OE = 1/2OB，OF = 1/2OD，
∴ OE = OF.
∵ ∠AOE = ∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（SAS），
∴ AE = CF，∠AEO = ∠CFO，
∴ AE // CF，即 EG // CF. 又
∵ EG = AE = CF，
∴ 四边形 EGCF 是平行四边形
（2）解：AC ⊥ AB；理由如下：由（1）可知 EF = 2OE，OE = BE.
∵ EF = 2GE，EG = AE，
∴ OE = AE = BE，
∴ ∠AOE = ∠OAE，∠ABE = ∠BAE，
∴ ∠BAO = ∠OAE + ∠BAE = 90°，即 AC ⊥ AB
21. （9 分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = CD$，$E$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $EA = EC$.
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
（2）如果 $BE = BC$，且 $∠ CBE : ∠ BCE = 2 : 3$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
（2）如果 $BE = BC$，且 $∠ CBE : ∠ BCE = 2 : 3$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.
答案
21. （1）证明略
（2）
∵ BE = BC，
∴ ∠BCE = ∠BEC.
∵ ∠CBE : ∠BCE = 2 : 3，
∴ ∠CBE = 45°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠ABE = 45°，
∴ ∠ABC = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是正方形
（2）
∵ BE = BC，
∴ ∠BCE = ∠BEC.
∵ ∠CBE : ∠BCE = 2 : 3，
∴ ∠CBE = 45°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠ABE = 45°，
∴ ∠ABC = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是正方形
22. (12 分)如图，已知正方形纸片 $ABCD$.
【实践操作】
第一步：如图(1)，将正方形纸片 $ABCD$ 沿 $AC$，$BD$ 分别折叠；然后展平，得到折痕 $AC$，$BD$；折痕 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.
第二步：如图(2)，将正方形 $ABCD$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AC$ 上，得到折痕 $AF$，$AF$ 与 $BD$ 相交于点 $G$，然后展平，连接 $GE$，$EF$.
【问题解决】
(1)$∠ AGD$ 的度数是
(2)如图(2)，请判断四边形 $BGEF$ 的形状，并说明理由.
【探索发现】
(3)如图(3)，若 $AB = 1$，将正方形 $ABCD$ 折叠，使点 $A$ 和点 $F$ 重合，折痕分别与 $AB$，$DC$ 相交于点 $M$，$N$.求 $MN^{2}$ 的值.
【实践操作】
第一步：如图(1)，将正方形纸片 $ABCD$ 沿 $AC$，$BD$ 分别折叠；然后展平，得到折痕 $AC$，$BD$；折痕 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.
第二步：如图(2)，将正方形 $ABCD$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AC$ 上，得到折痕 $AF$，$AF$ 与 $BD$ 相交于点 $G$，然后展平，连接 $GE$，$EF$.
【问题解决】
(1)$∠ AGD$ 的度数是
67.5°
.(2)如图(2)，请判断四边形 $BGEF$ 的形状，并说明理由.
【探索发现】
(3)如图(3)，若 $AB = 1$，将正方形 $ABCD$ 折叠，使点 $A$ 和点 $F$ 重合，折痕分别与 $AB$，$DC$ 相交于点 $M$，$N$.求 $MN^{2}$ 的值.
答案
22. 解：（1）67.5°
（2）结论：四边形 BGEF 是菱形. 理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BAD = ∠ABC = 90°，AC ⊥ BD. 由折叠可知，∠AEF = ∠ABF = 90°，BF = EF，
∴ ∠AEF + ∠BOC = 180°，
∴ EF // BG.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BAC = 45°，由折叠可知，∠BAF = ∠CAF = 1/2∠BAC = 22.5°，
∴ ∠AFB = ∠AGD = 67.5°.
∵ ∠BGF = ∠AGD，
∴ ∠AFB = ∠BGF，
∴ BG = BF.
∵ BF = EF，
∴ BG = BF = EF，
∴ 平行四边形 BGEF 是菱形
（3）如图，过点 N 作 NK ⊥ AB 于点 K，交 AF 于点 I，则 ∠AKN = ∠NKM = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 90°，AD = AB，
∴ 四边形 ADNK 为矩形，
∴ KN = AD = AB. 由折叠，可知 MN ⊥ AF.
∴ ∠BAF + ∠AIK = ∠KNM + ∠FIN = 90°.
∵ ∠AIK = ∠FIN，
∴ ∠BAF = ∠KNM. 在 △ABF 和 △NKM 中，
∠BAF = ∠KNM，
AB = NK，
∠ABF = ∠NKM，
∴ △ABF ≌ △NKM（ASA），
∴ AF = MN.
∵ AB = 1，
∴ BD = √(AB² + AD²) = √2.
∵ ∠GAD = ∠BAD - ∠BAF = 90° - 22.5° = 67.5°.
∵ ∠AGD = 67.5°，
∴ ∠AGD = ∠GAD，
∴ DG = AD = 1，
∴ BG = BD - DG = √2 - 1，
∴ BF = BG = √2 - 1. 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 AF² = AB² + BF² = 1 + (√2 - 1)² = 4 - 2√2，
∴ MN² = AF² = 4 - 2√2.
