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1. 若$x$为实数，在“$(\sqrt{3}+1)□ x$”的“$□$”中添上一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)后，其运算的结果为有理数，则$x$不可能是(
A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
答案
1. C
解析
A. 选择“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷(\sqrt{3}+1)=1$，结果为有理数；
B. 选择“×”：$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$，结果为有理数；
C. 分别尝试“+”“-”“×”“÷”：
“+”：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，无理数；
“-”：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}+1$，无理数；
“×”：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=2×3 + 2\sqrt{3}=6 + 2\sqrt{3}$，无理数；
“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，无理数；
D. 选择“+”：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，结果为有理数。
综上，$x$不可能是$2\sqrt{3}$，答案为C。
B. 选择“×”：$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$，结果为有理数；
C. 分别尝试“+”“-”“×”“÷”：
“+”：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，无理数；
“-”：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}+1$，无理数；
“×”：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=2×3 + 2\sqrt{3}=6 + 2\sqrt{3}$，无理数；
“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，无理数；
D. 选择“+”：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，结果为有理数。
综上，$x$不可能是$2\sqrt{3}$，答案为C。
2. 将下列各式乘一个因式后变成有理式，填一个所乘的因式：
(1) $5+\sqrt{6}$
(2) $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
(3) $a-\sqrt{a^{2}+1}$
(4) $m\sqrt{n}+n\sqrt{m}$
(1) $5+\sqrt{6}$
$ 5 - \sqrt{6} $
；(2) $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
$ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} $
；(3) $a-\sqrt{a^{2}+1}$
$ a + \sqrt{a^{2} + 1} $
；(4) $m\sqrt{n}+n\sqrt{m}$
$ m\sqrt{n} - n\sqrt{m} $ 或 $ n\sqrt{m} - m\sqrt{n} $
。答案
2. (1) $ 5 - \sqrt{6} $ (2) $ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} $ (3) $ a + \sqrt{a^{2} + 1} $ (4) $ m\sqrt{n} - n\sqrt{m} $ 或 $ n\sqrt{m} - m\sqrt{n} $
3. 计算：
(1) $\sqrt{20x}÷\frac{2}{3}\sqrt{y}=$
(2) $\sqrt{15}×\sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{12}=$
(3) $(5\sqrt{21}+\sqrt{\frac{3}{7}})÷\sqrt{7}=$
(4) $(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^{2}(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})^{2}=$
(1) $\sqrt{20x}÷\frac{2}{3}\sqrt{y}=$
$ \frac{3}{y}\sqrt{5xy} $
；(2) $\sqrt{15}×\sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{12}=$
$ \frac{\sqrt{30}}{6} $
；(3) $(5\sqrt{21}+\sqrt{\frac{3}{7}})÷\sqrt{7}=$
$ \frac{36}{7}\sqrt{3} $
；(4) $(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^{2}(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})^{2}=$
4
。答案
3. (1) $ \frac{3}{y}\sqrt{5xy} $ (2) $ \frac{\sqrt{30}}{6} $ (3) $ \frac{36}{7}\sqrt{3} $ (4) 4
4. 若$a = 3-\sqrt{10}$，则代数式$a^{2}-6a - 2$的值为
-1
。答案
4. -1
解析
已知$a = 3 - \sqrt{10}$，则$a - 3=-\sqrt{10}$，两边平方得$(a - 3)^2=(-\sqrt{10})^2$，即$a^2 - 6a + 9 = 10$，所以$a^2 - 6a=1$，则$a^2 - 6a - 2=1 - 2=-1$。
-1
-1
5. 计算：
(1) $\sqrt{18}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$；
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$。
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$；
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}(a＞0)$。
(1) $\sqrt{18}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$；
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$。
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$；
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}(a＞0)$。
答案
(1) $\sqrt{18}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+4\sqrt{3}+4$
$=5 - 3 + 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3}+9$
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$
$=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{16}$
$=\frac{-\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} - 4$
$=-\frac{1}{3}-4$
$=-4\frac{1}{3}$
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}+6\sqrt{a}-\sqrt{a}$
$=6\sqrt{a}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+4\sqrt{3}+4$
$=5 - 3 + 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3}+9$
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$
$=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{16}$
$=\frac{-\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} - 4$
$=-\frac{1}{3}-4$
$=-4\frac{1}{3}$
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}+6\sqrt{a}-\sqrt{a}$
$=6\sqrt{a}$
解析
(1) $\sqrt{18}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+4\sqrt{3}+4$
$=5 - 3 + 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3}+9$
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$
$=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{16}$
$=\frac{-\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} - 4$
$=-\frac{1}{3}-4$
$=-4\frac{1}{3}$
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}+6\sqrt{a}-\sqrt{a}$
$=6\sqrt{a}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+2)^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+4\sqrt{3}+4$
$=5 - 3 + 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3}+9$
(3) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}}{\sqrt{45}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$
$=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{16}$
$=\frac{-\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} - 4$
$=-\frac{1}{3}-4$
$=-4\frac{1}{3}$
(4) $\frac{a}{\sqrt{a}}+2\sqrt{9a}-\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}+6\sqrt{a}-\sqrt{a}$
$=6\sqrt{a}$
1. 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，则$x^{2}+y^{2}$的值为(
A.$28$
B.$26$
C.$13$
D.$12$
B
)A.$28$
B.$26$
C.$13$
D.$12$
答案
1. B
解析
$x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，
$x + y = (\sqrt{7}+\sqrt{6}) + (\sqrt{7}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$，
$xy = (\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1$，
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2×1 = 28 - 2 = 26$。
答案：B
$x + y = (\sqrt{7}+\sqrt{6}) + (\sqrt{7}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$，
$xy = (\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1$，
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2×1 = 28 - 2 = 26$。
答案：B
2. 已知$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$，$b = 2+\sqrt{3}$，则$a$，$b$的关系是(
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
B
)A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
答案
2. B
解析
$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3 - 4}=-(\sqrt{3}+2)=-2-\sqrt{3}$，$b=2+\sqrt{3}$，所以$a=-b$，即$a$，$b$互为相反数。
B
B
