9. 计算：
（1）$(1-\sqrt{2})^{2}$；
（2）$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$；
（3）$(3\sqrt{6}+2\sqrt{50})÷(-3\sqrt{2})$.

解：
（1）
$(1-\sqrt{2})^{2}=1^2 - 2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$
$=1 - 2\sqrt{2}+2$
$=3 - 2\sqrt{2}$
（2）
$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2$
$=3 - 4$
$=-1$
（3）
先化简$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，则：
$(3\sqrt{6}+2\sqrt{50})÷(-3\sqrt{2})=(3\sqrt{6}+2×5\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})$
$=(3\sqrt{6}+10\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})$
$=3\sqrt{6}÷(-3\sqrt{2}) + 10\sqrt{2}÷(-3\sqrt{2})$
$=-\sqrt{\frac{6}{2}} - \frac{10}{3}$
$=-\sqrt{3} - \frac{10}{3}$

【解析】
（1）利用完全平方公式展开计算：
$(1-\sqrt{2})^{2}=1^{2}-2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 - 2\sqrt{2} + 2=3 - 2\sqrt{2}$；
（2）利用平方差公式计算：
$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^{2}-2^{2}=3 - 4=-1$；
（3）先化简二次根式，再进行多项式除以单项式的运算：
$(3\sqrt{6}+2\sqrt{50})÷(-3\sqrt{2})=(3\sqrt{6}+2×5\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})=(3\sqrt{6}+10\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})=3\sqrt{6}÷(-3\sqrt{2}) + 10\sqrt{2}÷(-3\sqrt{2})=-\sqrt{3}-\frac{10}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{3 - 2\sqrt{2}}$；（2）$\boldsymbol{-1}$；（3）$\boldsymbol{-\sqrt{3}-\frac{10}{3}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练运用乘法公式简化计算，掌握二次根式的化简及运算法则，计算时注意符号的准确性。
【难度系数】
0.7

1. 若$x=\sqrt{2}-1$，则$x^{2}+2x+1$的值为()

A.$\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}-1$

1. C

$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，将$x=\sqrt{2}-1$代入，得$(\sqrt{2}-1+1)^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$，答案为C。

2. 计算$\frac{2}{\sqrt{3}}÷(\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}})$的结果是.

2. $\frac{1}{2}$

$\begin{aligned}&\frac{2}{\sqrt{3}}÷(\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}})\\=&\frac{2}{\sqrt{3}}÷(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3})\\=&\frac{2}{\sqrt{3}}÷(\frac{3\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3})\\=&\frac{2}{\sqrt{3}}÷\frac{4\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{2}{\sqrt{3}}×\frac{3}{4\sqrt{3}}\\=&\frac{6}{4×3}\\=&\frac{6}{12}\\=&\frac{1}{2}\end{aligned}$

3. 计算：
（1）$2\sqrt{75}+\sqrt{12}-3\sqrt{27}$；
（2）$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{2}{5}}$；
（3）$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
（4）$(2\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$；
（5）$(3 - 2\sqrt{2})^{2024}(3 + 2\sqrt{2})^{2023}$；
（6）$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$.

（1）解：
$2\sqrt{75}+\sqrt{12}-3\sqrt{27}$
$=2×5\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3×3\sqrt{3}$
$=10\sqrt{3}+2\sqrt{3}-9\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
（2）解：
$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{2}{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{7}{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}$
$=\sqrt{1}$
$=1$
（3）解：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
（4）解：
$(2\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$
$=(12-4\sqrt{3}+1)+(3-4)$
$=13-4\sqrt{3}-1$
$=12-4\sqrt{3}$
（5）解：
$(3-2\sqrt{2})^{2024}(3+2\sqrt{2})^{2023}$
$=(3-2\sqrt{2})×[(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})]^{2023}$
$=(3-2\sqrt{2})×(9-8)^{2023}$
$=(3-2\sqrt{2})×1^{2023}$
$=3-2\sqrt{2}$
（6）解：
$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=[(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}][(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}]$
$=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2$
$=1+2\sqrt{2}+2-3$
$=2\sqrt{2}$

【解析】
（1）先化简各二次根式：
$2\sqrt{75}=2×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$3\sqrt{27}=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$10\sqrt{3}+2\sqrt{3}-9\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
（2）将带分数化为假分数，根据二次根式乘除法则计算：
$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{7}{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$
（3）分别计算各项：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$
$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
再合并：
$4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算：
$(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2=12-4\sqrt{3}+1=13-4\sqrt{3}$
$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$
相加得：
$13-4\sqrt{3}+(-1)=12-4\sqrt{3}$
（5）利用积的乘方逆运算：
$(3-2\sqrt{2})^{2024}(3+2\sqrt{2})^{2023}=(3-2\sqrt{2})×[(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})]^{2023}$
因为$(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$，所以：
原式$=(3-2\sqrt{2})×1^{2023}=3-2\sqrt{2}$
（6）把$1+\sqrt{2}$看作整体，利用平方差公式：
$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2$
$=(1+2\sqrt{2}+2)-3=3+2\sqrt{2}-3=2\sqrt{2}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$；（2）$\boldsymbol{1}$；（3）$\boldsymbol{4+\sqrt{6}}$；（4）$\boldsymbol{12-4\sqrt{3}}$；（5）$\boldsymbol{3-2\sqrt{2}}$；（6）$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式的运算，乘法公式，积的乘方逆运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的化简、乘除加减运算，以及完全平方公式、平方差公式、积的乘方逆运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和相关公式是解题关键。
【难度系数】
0.6

4. 已知$x = 2-\sqrt{3}$，$y = 2+\sqrt{3}$，求代数式$2x^{2}-3xy+y^{2}$的值.

4. $18 - 4\sqrt{3}$

$2x^{2}-3xy+y^{2}=(2x - y)(x - y)$
$x = 2-\sqrt{3}$，$y = 2+\sqrt{3}$
$2x - y=2(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=4 - 2\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=2 - 3\sqrt{3}$
$x - y=(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$
$(2x - y)(x - y)=(2 - 3\sqrt{3})(-2\sqrt{3})=-4\sqrt{3}+6×3=18 - 4\sqrt{3}$
$2x^{2}-3xy+y^{2}=18 - 4\sqrt{3}$

5. 已知$\frac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\frac{x}{4}}-2x\sqrt{\frac{1}{x}}=15$，求$x$的值.

5. 25

解：$\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$
$=\frac{2}{3} × 3\sqrt{x} + 6 × \frac{\sqrt{x}}{2} - 2x × \frac{\sqrt{x}}{x}$
$=2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$
$=3\sqrt{x}$
因为$3\sqrt{x} = 15$，所以$\sqrt{x} = 5$，解得$x = 25$。
25