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四、化简比并求比值。
1. $85:\frac{13}{5}$ $\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$ $0.4:0.16$
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$ 40分:1时 $2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
1. $85:\frac{13}{5}$ $\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$ $0.4:0.16$
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$ 40分:1时 $2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
答案
$85:\frac{13}{5}$
$=(85×5):(\frac{13}{5}×5)$
$=425:13$
比值：$85÷\frac{13}{5}=\frac{425}{13}$
$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$
$=(\frac{4}{27}×27):(\frac{8}{9}×27)$
$=4:24$
$=(4÷4):(24÷4)$
$=1:6$
比值：$\frac{4}{27}÷\frac{8}{9}=\frac{1}{6}$
$0.4:0.16$
$=(0.4×100):(0.16×100)$
$=40:16$
$=(40÷8):(16÷8)$
$=5:2$
比值：$0.4÷0.16=2.5$
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$
$=2000\mathrm{m}:50\mathrm{m}$
$=(2000÷50):(50÷50)$
$=40:1$
比值：$2000÷50=40$
40分:1时
$=40分:60分$
$=(40÷20):(60÷20)$
$=2:3$
比值：$40÷60=\frac{2}{3}$
$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
$=2400\mathrm{kg}:800\mathrm{kg}$
$=(2400÷800):(800÷800)$
$=3:1$
比值：$2400÷800=3$
$=(85×5):(\frac{13}{5}×5)$
$=425:13$
比值：$85÷\frac{13}{5}=\frac{425}{13}$
$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$
$=(\frac{4}{27}×27):(\frac{8}{9}×27)$
$=4:24$
$=(4÷4):(24÷4)$
$=1:6$
比值：$\frac{4}{27}÷\frac{8}{9}=\frac{1}{6}$
$0.4:0.16$
$=(0.4×100):(0.16×100)$
$=40:16$
$=(40÷8):(16÷8)$
$=5:2$
比值：$0.4÷0.16=2.5$
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$
$=2000\mathrm{m}:50\mathrm{m}$
$=(2000÷50):(50÷50)$
$=40:1$
比值：$2000÷50=40$
40分:1时
$=40分:60分$
$=(40÷20):(60÷20)$
$=2:3$
比值：$40÷60=\frac{2}{3}$
$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
$=2400\mathrm{kg}:800\mathrm{kg}$
$=(2400÷800):(800÷800)$
$=3:1$
比值：$2400÷800=3$
解析
【分析】
要完成化简比和求比值的任务，需分步骤处理每一组比：
1. 对于不同类型的比，先根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）进行化简：
整数与分数的比（如$85:\frac{13}{5}$）：给前项和后项同时乘分数的分母，将分数化为整数，再整理成最简整数比；
分数与分数的比（如$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$）：给前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，消去分母后再约分化简；
小数与小数的比（如$0.4:0.16$）：给前项和后项同时乘10、100等，将小数化为整数，再约分化简；
带不同单位的比（如$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$、40分:1时、$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$）：先统一单位（根据单位间的进率换算，如1km=1000m，1时=60分，1t=1000kg），再按整数比的方法化简。
2. 求比值时，直接用比的前项除以后项，计算出商即可，结果可以是分数、小数或整数。
【解析】
1. $85:\frac{13}{5}$
$=(85×5):(\frac{13}{5}×5)$
$=425:13$
比值：$85÷\frac{13}{5}=\frac{425}{13}$
2. $\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$
$=(\frac{4}{27}×27):(\frac{8}{9}×27)$
$=4:24$
$=(4÷4):(24÷4)$
$=1:6$
比值：$\frac{4}{27}÷\frac{8}{9}=\frac{1}{6}$
3. $0.4:0.16$
$=(0.4×100):(0.16×100)$
$=40:16$
$=(40÷8):(16÷8)$
$=5:2$
比值：$0.4÷0.16=2.5$
4. $2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$
$=2000\mathrm{m}:50\mathrm{m}$
$=(2000÷50):(50÷50)$
$=40:1$
比值：$2000÷50=40$
5. 40分:1时
$=40分:60分$
$=(40÷20):(60÷20)$
$=2:3$
比值：$40÷60=\frac{2}{3}$
6. $2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
$=2400\mathrm{kg}:800\mathrm{kg}$
$=(2400÷800):(800÷800)$
$=3:1$
比值：$2400÷800=3$
【答案】
$85:\frac{13}{5}$化简为$425:13$，比值为$\frac{425}{13}$；
$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$化简为$1:6$，比值为$\frac{1}{6}$；
$0.4:0.16$化简为$5:2$，比值为$2.5$；
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$化简为$40:1$，比值为$40$；
40分:1时化简为$2:3$，比值为$\frac{2}{3}$；
$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$化简为$3:1$，比值为$3$。
【知识点】
比的化简、求比值、单位换算
【点评】
本题考查比的化简与求比值的基础运算，解题关键是牢记比的基本性质，处理带单位的比时要先统一单位，化简比的结果必须是最简整数比，求比值时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
要完成化简比和求比值的任务，需分步骤处理每一组比：
1. 对于不同类型的比，先根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）进行化简：
整数与分数的比（如$85:\frac{13}{5}$）：给前项和后项同时乘分数的分母，将分数化为整数，再整理成最简整数比；
分数与分数的比（如$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$）：给前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，消去分母后再约分化简；
小数与小数的比（如$0.4:0.16$）：给前项和后项同时乘10、100等，将小数化为整数，再约分化简；
带不同单位的比（如$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$、40分:1时、$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$）：先统一单位（根据单位间的进率换算，如1km=1000m，1时=60分，1t=1000kg），再按整数比的方法化简。
2. 求比值时，直接用比的前项除以后项，计算出商即可，结果可以是分数、小数或整数。
【解析】
1. $85:\frac{13}{5}$
$=(85×5):(\frac{13}{5}×5)$
$=425:13$
比值：$85÷\frac{13}{5}=\frac{425}{13}$
2. $\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$
$=(\frac{4}{27}×27):(\frac{8}{9}×27)$
$=4:24$
$=(4÷4):(24÷4)$
$=1:6$
比值：$\frac{4}{27}÷\frac{8}{9}=\frac{1}{6}$
3. $0.4:0.16$
$=(0.4×100):(0.16×100)$
$=40:16$
$=(40÷8):(16÷8)$
$=5:2$
比值：$0.4÷0.16=2.5$
4. $2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$
$=2000\mathrm{m}:50\mathrm{m}$
$=(2000÷50):(50÷50)$
$=40:1$
比值：$2000÷50=40$
5. 40分:1时
$=40分:60分$
$=(40÷20):(60÷20)$
$=2:3$
比值：$40÷60=\frac{2}{3}$
6. $2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$
$=2400\mathrm{kg}:800\mathrm{kg}$
$=(2400÷800):(800÷800)$
$=3:1$
比值：$2400÷800=3$
【答案】
$85:\frac{13}{5}$化简为$425:13$，比值为$\frac{425}{13}$；
$\frac{4}{27}:\frac{8}{9}$化简为$1:6$，比值为$\frac{1}{6}$；
$0.4:0.16$化简为$5:2$，比值为$2.5$；
$2\mathrm{km}:50\mathrm{m}$化简为$40:1$，比值为$40$；
40分:1时化简为$2:3$，比值为$\frac{2}{3}$；
$2.4\mathrm{t}:800\mathrm{kg}$化简为$3:1$，比值为$3$。
【知识点】
比的化简、求比值、单位换算
【点评】
本题考查比的化简与求比值的基础运算，解题关键是牢记比的基本性质，处理带单位的比时要先统一单位，化简比的结果必须是最简整数比，求比值时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
五、解比例。
$24:28=x:21$
$x:3.6=1.5:2.4$
$\frac{3}{10}:x=\frac{1}{2}:\frac{5}{6}$
$\frac{3}{4}:x=\frac{5}{6}:\frac{8}{9}$
$\frac{1}{8}:\frac{1}{12}=\frac{3}{4}:x$
$x:\frac{2}{3}=60:5$
$24:28=x:21$
$x:3.6=1.5:2.4$
$\frac{3}{10}:x=\frac{1}{2}:\frac{5}{6}$
$\frac{3}{4}:x=\frac{5}{6}:\frac{8}{9}$
$\frac{1}{8}:\frac{1}{12}=\frac{3}{4}:x$
$x:\frac{2}{3}=60:5$
答案
解：28x=24×21
28x=504
x=18
解：2.4x=3.6×1.5
2.4x=5.4
x=2.25
解：$\frac{1}{2}x=\frac{3}{10}×\frac{5}{6}$
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$
x=$\frac{1}{4}÷\frac{1}{2}$
x=$\frac{1}{2}$
解：$\frac{5}{6}x=\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$
$\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}$
x=$\frac{2}{3}÷\frac{5}{6}$
x=$\frac{4}{5}$
解：$\frac{1}{8}x=\frac{1}{12}×\frac{3}{4}$
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{16}$
x=$\frac{1}{16}÷\frac{1}{8}$
x=$\frac{1}{2}$
解：5x=$\frac{2}{3}×60$
5x=40
x=8
28x=504
x=18
解：2.4x=3.6×1.5
2.4x=5.4
x=2.25
解：$\frac{1}{2}x=\frac{3}{10}×\frac{5}{6}$
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$
x=$\frac{1}{4}÷\frac{1}{2}$
x=$\frac{1}{2}$
解：$\frac{5}{6}x=\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$
$\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}$
x=$\frac{2}{3}÷\frac{5}{6}$
x=$\frac{4}{5}$
解：$\frac{1}{8}x=\frac{1}{12}×\frac{3}{4}$
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{16}$
x=$\frac{1}{16}÷\frac{1}{8}$
x=$\frac{1}{2}$
解：5x=$\frac{2}{3}×60$
5x=40
x=8
解析
【分析】
解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。解题时，先找准每个比例的内项和外项，利用该性质将比例式转化为一元一次方程，再根据等式的基本性质（等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立）逐步计算，求出未知数x的值。
【解析】
1. 解$24:28=x:21$
根据比例的基本性质可得：
$28x=24×21$
$28x=504$
$x=504÷28$
$x=18$
2. 解$x:3.6=1.5:2.4$
根据比例的基本性质可得：
$2.4x=3.6×1.5$
$2.4x=5.4$
$x=5.4÷2.4$
$x=2.25$
3. 解$\frac{3}{10}:x=\frac{1}{2}:\frac{5}{6}$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{1}{2}x=\frac{3}{10}×\frac{5}{6}$
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$
$x=\frac{1}{4}÷\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$
4. 解$\frac{3}{4}:x=\frac{5}{6}:\frac{8}{9}$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{5}{6}x=\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$
$\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}$
$x=\frac{2}{3}÷\frac{5}{6}$
$x=\frac{4}{5}$
5. 解$\frac{1}{8}:\frac{1}{12}=\frac{3}{4}:x$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{12}×\frac{3}{4}$
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{16}$
$x=\frac{1}{16}÷\frac{1}{8}$
$x=\frac{1}{2}$
6. 解$x:\frac{2}{3}=60:5$
根据比例的基本性质可得：
$5x=\frac{2}{3}×60$
$5x=40$
$x=40÷5$
$x=8$
【答案】
$x=18$；$x=2.25$；$x=\frac{1}{2}$；$x=\frac{4}{5}$；$x=\frac{1}{2}$；$x=8$
【知识点】
比例的基本性质；解比例；解方程
【点评】
本题是基础的解比例题型，解题关键是熟练运用比例的基本性质将比例转化为方程，再通过解方程求出未知数。计算过程中需注意分数、小数运算的准确性，避免因计算失误导致结果错误。掌握此类题型的解法，能为后续比例的应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.8
解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。解题时，先找准每个比例的内项和外项，利用该性质将比例式转化为一元一次方程，再根据等式的基本性质（等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立）逐步计算，求出未知数x的值。
【解析】
1. 解$24:28=x:21$
根据比例的基本性质可得：
$28x=24×21$
$28x=504$
$x=504÷28$
$x=18$
2. 解$x:3.6=1.5:2.4$
根据比例的基本性质可得：
$2.4x=3.6×1.5$
$2.4x=5.4$
$x=5.4÷2.4$
$x=2.25$
3. 解$\frac{3}{10}:x=\frac{1}{2}:\frac{5}{6}$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{1}{2}x=\frac{3}{10}×\frac{5}{6}$
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$
$x=\frac{1}{4}÷\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$
4. 解$\frac{3}{4}:x=\frac{5}{6}:\frac{8}{9}$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{5}{6}x=\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$
$\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}$
$x=\frac{2}{3}÷\frac{5}{6}$
$x=\frac{4}{5}$
5. 解$\frac{1}{8}:\frac{1}{12}=\frac{3}{4}:x$
根据比例的基本性质可得：
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{12}×\frac{3}{4}$
$\frac{1}{8}x=\frac{1}{16}$
$x=\frac{1}{16}÷\frac{1}{8}$
$x=\frac{1}{2}$
6. 解$x:\frac{2}{3}=60:5$
根据比例的基本性质可得：
$5x=\frac{2}{3}×60$
$5x=40$
$x=40÷5$
$x=8$
【答案】
$x=18$；$x=2.25$；$x=\frac{1}{2}$；$x=\frac{4}{5}$；$x=\frac{1}{2}$；$x=8$
【知识点】
比例的基本性质；解比例；解方程
【点评】
本题是基础的解比例题型，解题关键是熟练运用比例的基本性质将比例转化为方程，再通过解方程求出未知数。计算过程中需注意分数、小数运算的准确性，避免因计算失误导致结果错误。掌握此类题型的解法，能为后续比例的应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.8
六、动手操作。
从小明家出发向东走300m到超市，从超市向东偏北$30°$方向走250m到学校，从超市向南走200m到电影院，从电影院向东走400m到公园。先确定合适的比例尺，再画出上述地点的位置平面图。
从小明家出发向东走300m到超市，从超市向东偏北$30°$方向走250m到学校，从超市向南走200m到电影院，从电影院向东走400m到公园。先确定合适的比例尺，再画出上述地点的位置平面图。
答案
确定比例尺：1:10000（图上1厘米表示实际100米）
计算图上距离：
$300÷100=3(cm)$
$250÷100=2.5(cm)$
$200÷100=2(cm)$
$400÷100=4(cm)$
画图：
1. 标注方向标，确定小明家位置。
2. 从小明家向东画3cm线段，端点标注“超市”。
3. 以超市为起点，向东偏北$30°$方向画2.5cm线段，端点标注“学校”。
4. 从超市向南画2cm线段，端点标注“电影院”。
5. 从电影院向东画4cm线段，端点标注“公园”。
答：完成上述位置平面图的绘制。
计算图上距离：
$300÷100=3(cm)$
$250÷100=2.5(cm)$
$200÷100=2(cm)$
$400÷100=4(cm)$
画图：
1. 标注方向标，确定小明家位置。
2. 从小明家向东画3cm线段，端点标注“超市”。
3. 以超市为起点，向东偏北$30°$方向画2.5cm线段，端点标注“学校”。
4. 从超市向南画2cm线段，端点标注“电影院”。
5. 从电影院向东画4cm线段，端点标注“公园”。
答：完成上述位置平面图的绘制。
解析
【分析】
首先我们需要明确这道题是要根据实际距离和方向来绘制位置平面图。第一步要确定合适的比例尺，因为实际距离有300m、250m、200m、400m，为了让图上距离方便计算和绘制，我们可以选择图上1厘米代表实际100米的比例尺（即1:10000），这样计算出的图上距离都是比较好操作的数值。接下来，我们需要把每段实际距离换算成图上距离，用实际距离除以比例尺代表的实际长度即可。最后按照题目给出的方向，从起点小明家开始，依次确定超市、学校、电影院、公园的位置，每一步都要找准方向和画对图上距离的长度。
【解析】
1. 确定比例尺：选择比例尺为1:10000，也就是图上1厘米表示实际100米。
2. 计算各路段的图上距离：
小明家到超市：$300÷100=3(cm)$
超市到学校：$250÷100=2.5(cm)$
超市到电影院：$200÷100=2(cm)$
电影院到公园：$400÷100=4(cm)$
3. 绘制平面图步骤：
先在图中标注方向标，确定小明家的位置。
从小明家出发，沿正东方向画3厘米的线段，线段的另一端标注“超市”。
以超市为观测点，向东偏北$30°$方向画2.5厘米的线段，线段的另一端标注“学校”。
以超市为观测点，沿正南方向画2厘米的线段，线段的另一端标注“电影院”。
以电影院为观测点，沿正东方向画4厘米的线段，线段的另一端标注“公园”。
【答案】
完成上述位置平面图的绘制
【知识点】
比例尺的应用、根据方向和距离确定位置、平面图绘制
【点评】
本题主要考察了比例尺的实际应用以及根据方向和距离确定物体位置的操作能力，在绘制过程中需要准确把握方向和图上距离，确保位置标注正确。
【难度系数】
0.7
首先我们需要明确这道题是要根据实际距离和方向来绘制位置平面图。第一步要确定合适的比例尺，因为实际距离有300m、250m、200m、400m，为了让图上距离方便计算和绘制，我们可以选择图上1厘米代表实际100米的比例尺（即1:10000），这样计算出的图上距离都是比较好操作的数值。接下来，我们需要把每段实际距离换算成图上距离，用实际距离除以比例尺代表的实际长度即可。最后按照题目给出的方向，从起点小明家开始，依次确定超市、学校、电影院、公园的位置，每一步都要找准方向和画对图上距离的长度。
【解析】
1. 确定比例尺：选择比例尺为1:10000，也就是图上1厘米表示实际100米。
2. 计算各路段的图上距离：
小明家到超市：$300÷100=3(cm)$
超市到学校：$250÷100=2.5(cm)$
超市到电影院：$200÷100=2(cm)$
电影院到公园：$400÷100=4(cm)$
3. 绘制平面图步骤：
先在图中标注方向标，确定小明家的位置。
从小明家出发，沿正东方向画3厘米的线段，线段的另一端标注“超市”。
以超市为观测点，向东偏北$30°$方向画2.5厘米的线段，线段的另一端标注“学校”。
以超市为观测点，沿正南方向画2厘米的线段，线段的另一端标注“电影院”。
以电影院为观测点，沿正东方向画4厘米的线段，线段的另一端标注“公园”。
【答案】
完成上述位置平面图的绘制
【知识点】
比例尺的应用、根据方向和距离确定位置、平面图绘制
【点评】
本题主要考察了比例尺的实际应用以及根据方向和距离确定物体位置的操作能力，在绘制过程中需要准确把握方向和图上距离，确保位置标注正确。
【难度系数】
0.7
七、解决问题。
1. 水果店运进苹果、橘子和梨共435kg，如果橘子增加15kg，这三种水果的质量比是$15:7:8$，橘子原来运进多少千克？
1. 水果店运进苹果、橘子和梨共435kg，如果橘子增加15kg，这三种水果的质量比是$15:7:8$，橘子原来运进多少千克？
答案
435 + 15 = 450（kg）
15 + 7 + 8 = 30
450 ÷ 30 = 15（kg）
15 × 7 - 15 = 90（kg）
答：橘子原来运进90千克。
15 + 7 + 8 = 30
450 ÷ 30 = 15（kg）
15 × 7 - 15 = 90（kg）
答：橘子原来运进90千克。
解析
【分析】
首先，橘子增加15kg后，三种水果的总质量会变为435+15=450kg，此时三种水果的质量比为15:7:8。我们需要先根据变化后的总质量和比例求出每份对应的质量，再算出增加后橘子的质量，最后减去15kg就能得到橘子原来的质量。具体思考步骤：先确定变化后的总质量，再计算比例的总份数，用总质量除以总份数得到每份质量，接着根据比例求出增加后橘子的质量，最后还原得到原来的橘子质量。
【解析】
1. 计算橘子增加15kg后三种水果的总质量：
$435 + 15 = 450$（kg）
2. 计算三种水果质量比的总份数：
$15 + 7 + 8 = 30$
3. 求出每份对应的质量：
$450 ÷ 30 = 15$（kg）
4. 计算橘子原来的质量：
$15 × 7 - 15 = 90$（kg）
答：橘子原来运进90千克。
【答案】
90千克
【知识点】
按比例分配问题、整数混合运算
【点评】
本题的关键是找准变化后总质量与比例的对应关系，先利用按比例分配求出增加后橘子的质量，再还原得到原来的质量。需要注意不要遗漏减去后来增加的15kg，考查学生对比例应用和整数运算的综合掌握能力。
【难度系数】
0.7
首先，橘子增加15kg后，三种水果的总质量会变为435+15=450kg，此时三种水果的质量比为15:7:8。我们需要先根据变化后的总质量和比例求出每份对应的质量，再算出增加后橘子的质量，最后减去15kg就能得到橘子原来的质量。具体思考步骤：先确定变化后的总质量，再计算比例的总份数，用总质量除以总份数得到每份质量，接着根据比例求出增加后橘子的质量，最后还原得到原来的橘子质量。
【解析】
1. 计算橘子增加15kg后三种水果的总质量：
$435 + 15 = 450$（kg）
2. 计算三种水果质量比的总份数：
$15 + 7 + 8 = 30$
3. 求出每份对应的质量：
$450 ÷ 30 = 15$（kg）
4. 计算橘子原来的质量：
$15 × 7 - 15 = 90$（kg）
答：橘子原来运进90千克。
【答案】
90千克
【知识点】
按比例分配问题、整数混合运算
【点评】
本题的关键是找准变化后总质量与比例的对应关系，先利用按比例分配求出增加后橘子的质量，再还原得到原来的质量。需要注意不要遗漏减去后来增加的15kg，考查学生对比例应用和整数运算的综合掌握能力。
【难度系数】
0.7
